[Teoria degli insiemi] Dimostrazioni matematiche (in generale)

[Xriuk]

Buongiorno a tutti, innanzitutto chiedo di spostare la mia domanda nel caso io abbia sbagliato forum, perchè non sapevo dove postarla, l'ho messa nel forum più vicino all'esempio che vi descriverò.

Sto avendo qualche difficoltà con le dimostrazioni matematiche, mi è difficile individuare un procedimento/algoritmo da seguire per ogni dimostrazione.

Esempio:
Dimostrare che $ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) $

Il mio problema è che non so mai come/cosa devo dimostrare.
Mi spiego: a questo indirizzo (al punto 3) c'è un esempio analogo al mio, che viene dimostrato tramite un esempio.
Mentre a questo indirizzo, c'è un'altra dimostrazione, generica, senza esempi.
Come faccio a sapere quando basta dimostrare con un singolo esempio e quando devo dimostrare genericamente? Quale condizione devo assumere come vera e quale dimostrare?
Grazie a chiunque risponderà

[marco2132k]

Come faccio a sapere quando basta dimostrare con un singolo esempio e quando devo dimostrare genericamente?

Non "dimostri" con un singolo esempio: al massimo, nel caso ti capitasse di dover provare che una cosa quantificata universalmente ("dimostra che per tutti gli \( x \) [...]") non regge, è sufficiente un controesempio.

Quale condizione devo assumere come vera e quale dimostrare?

In che senso? Nel teorema in questo post, l'ipotesi è solamente il fatto che \( A \), \( B \), \( C \) siano insiemi: devi provare che i due membri rispettivamente a sinistra e a destra dell'uguale si includono l'un l'altro.

EDIT: Corretto errore nelle prime righe. Le aggiunte sono in grassetto. Intendevo dire ciò, però avevo scritto una cosa che è in effetti era contrario. Scusa @Xriuk.

[Cantor99]

in questo caso puoi usare la doppia inclusione, cioè
\[
A=B \Leftrightarrow A\subseteq B \mbox{ e } B\subseteq A
\]
Metto sotto spoiler!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ti mostro che $A\times (B \cup C) \subseteq (A\times B)\cup (A\times C)$, che è, per definizione, equivalente a provare che ogni elemento di $A\times (B\cup C)$ sta dentro $(A\times B)\cup (A\times C)$
Considero $(x,y)\in A\times (B\cup C)$. Per come sono definite le coppie ordinate, si ha $x\in A$ e $y\in B\cup C$. Poiché $y\in B\cup C \Leftrightarrow y\in B \mbox{o} y\in C$, hai due casi. In particolare,
1. Se $y\in B$ hai che $(x,y)\in A\times B$;
2. se $y\in C$ hai che $(x,y)\in A \times C$.
In ogni caso, $(x,y)\in A\times B)\cup (A\times C)$. Pertanto $A\times (B\cup C) \subseteq (A\times B)\cup (A\times C)$

Ora proviamo che $(A\times B)\cup (A\times C)\subseteq A\times (B\cup C)$. Sia $(t,z)\in (A\times B)\cup (A\times C)$. Pertanto $(t,z)\in A\times B$ o $(t,z)\in A\times C$. In particolare,
1. Se $(t,z)\in A\times B$ allora $t\in A$ e $z\in B$
2. Se $(t,z)\in A\times C$ allora $t\in A$ e $z\in C$
In ogni caso, $t\in A$ e $z\in B\cup C$, cioè $(t,z)\in A\times (B\cup C)$

I due insiemi sono allora contenuti uno nell'altro e coincidono

[Xriuk]

Non "dimostri" con un singolo esempio: al massimo, nel caso ti capitasse di dover provare una cosa quantificata universalmente ("dimostra che per tutti gli \( x \) [...]"), è sufficiente un controesempio.

Potresti farmi un esempio?

[Xriuk]

in questo caso puoi usare la doppia inclusione, cioè
\[
A=B \Leftrightarrow A\subseteq B \mbox{ e } B\subseteq A
\]
Metto sotto spoiler!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ti mostro che $A\times (B \cup C) \subseteq (A\times B)\cup (A\times C)$, che è, per definizione, equivalente a provare che ogni elemento di $A\times (B\cup C)$ sta dentro $(A\times B)\cup (A\times C)$
Considero $(x,y)\in A\times (B\cup C)$. Per come sono definite le coppie ordinate, si ha $x\in A$ e $y\in B\cup C$. Poiché $y\in B\cup C \Leftrightarrow y\in B \mbox{o} y\in C$, hai due casi. In particolare,
1. Se $y\in B$ hai che $(x,y)\in A\times B$;
2. se $y\in C$ hai che $(x,y)\in A \times C$.
In ogni caso, $(x,y)\in A\times B)\cup (A\times C)$. Pertanto $A\times (B\cup C) \subseteq (A\times B)\cup (A\times C)$

Ora proviamo che $(A\times B)\cup (A\times C)\subseteq A\times (B\cup C)$. Sia $(t,z)\in (A\times B)\cup (A\times C)$. Pertanto $(t,z)\in A\times B$ o $(t,z)\in A\times C$. In particolare,
1. Se $(t,z)\in A\times B$ allora $t\in A$ e $z\in B$
2. Se $(t,z)\in A\times C$ allora $t\in A$ e $z\in C$
In ogni caso, $t\in A$ e $z\in B\cup C$, cioè $(t,z)\in A\times (B\cup C)$

I due insiemi sono allora contenuti uno nell'altro e coincidono

Quindi se ho capito bene, ogni volta devo analizzare ogni caso (ad esempio se $y\in B$, $y\in C$, ...). E per quanto riguarda la scrittura? Cioè, se io avessi in un esame un esercizio in cui devo dimostrare qualcosa, come potrei scriverlo in "linguaggio matematico"? Ogni passaggio intendo. Utilizzando l'implicazione? Oppure riga per riga va bene?

[gugo82]

Per imparare a scrivere dimostrazioni c'è un solo metodo che funziona: leggerne tante, (ri)scriverne tantissime e mostrarle a chi ne ha viste più di te, accettando le correzioni ed i consigli che ti vengono offerti.

[marco2132k]

Potresti farmi un esempio?

https://math.stackexchange.com/q/1022868 questo è carino. Più banalmente, se dico che per ogni numero naturale \( m \) esiste un numero naturale \( n \) tale che \( mn=1 \), e considero il naturale \( 5 \), ammettere il mio claim significherebbe che per qualche \( b\in\mathbb{N} \), \( 5b=1 \).

E per quanto riguarda la scrittura? Cioè, se io avessi in un esame un esercizio in cui devo dimostrare qualcosa, come potrei scriverlo in "linguaggio matematico"? Ogni passaggio intendo. Utilizzando l'implicazione? Oppure riga per riga va bene?

Non è sbagliato quello che dici. Però le dimostrazioni, come d'altronde le 'regole logiche' che accetti, sono generalmente ad un livello più terra-terra, ossia non formalizzato. Usi il linguaggio comune, e i simboli per abbreviare e dare chiarezza.

[Xriuk]

Per imparare a scrivere dimostrazioni c'è un solo metodo che funziona: leggerne tante, (ri)scriverne tantissime e mostrarle a chi ne ha viste più di te, accettando le correzioni ed i consigli che ti vengono offerti.

È quello che temevo, quindi non c'è un procedimento vero e proprio se non quello di provare e riprovare...

[gugo82]

Per imparare a scrivere dimostrazioni c'è un solo metodo che funziona: leggerne tante, (ri)scriverne tantissime e mostrarle a chi ne ha viste più di te, accettando le correzioni ed i consigli che ti vengono offerti.

È quello che temevo, quindi non c'è un procedimento vero e proprio se non quello di provare e riprovare...

Come in ogni altra attività artigianale/artistica dell'essere umano.

[Xriuk]

Per imparare a scrivere dimostrazioni c'è un solo metodo che funziona: leggerne tante, (ri)scriverne tantissime e mostrarle a chi ne ha viste più di te, accettando le correzioni ed i consigli che ti vengono offerti.

È quello che temevo, quindi non c'è un procedimento vero e proprio se non quello di provare e riprovare...

Come in ogni altra attività dell'essere umano.

Mah, insomma. Cioè se io devo cambiare la ruota di una macchina c'è un procedimento ben preciso da seguire, passo passo. Come per quasi tutte le cose, per questo queste dimostrazioni per le quali si sa solo inizio e fine mi colgono un po' impreparato. Non c'è una vera tecnica di risoluzione, sta tutto all'esperienza.