Chiusura algebrica di un campo

[fmnq]

Se fosse $M \ne F_{1}$ la coppia $(F_{1},\psi)$ sarebbe un elemento di $\mathcal T$ tale che $(M,\psi) < (F_ {1},\psi)$, che è assurdo per la massimalità di $(M,\psi)$. Questo, forse non troppo formalmente, dovrebbe essere ciò che intendeva spugna!

Qui stai implicitamente assumendo che una coppia $(F_1, \psi)$ sia in $\mathcal{E}$, ma... Perché? Ciò che sarebbe ottimo dimostrare è che se $(M, \phi)$ è un elemento massimale in $\mathcal{E}$, allora deve necessariamente essere $M = F_1$. Prova per assurdo (supponiamo che $M$ sia strettamente contenuto in $F_1$, allora...).

Qui penso di essere in alto mare soprattutto perché non riesco a vedere il ruolo di $\psi$

Diamo i nomi alle cose: abbiamo le inclusioni $i : K \to F_1$ e $j : K \to F_2$, e abbiamo anche l'estensione $\psi : F_1 \to F_2$ tale che $\psi \circ i = j$. Quindi $\psi(F_1)$ è un sottocampo di $F_2$ che contiene l'immagine $j(K) = K$.

Il punto qui è che il morfismo $\psi$ conserva le relazioni algebriche degli elementi di $F_1$ dentro $F_2$. Più precisamente, il morfismo $\psi : F_1 \to F_2$ induce il morfismo di anelli di polinomi $\psi_\star : F_1[X] \to F_2[X]$ tale che
\[
\sum_{i=0}^n{a_i X^n} \mapsto \sum_{i=0}^n{\psi(a_i)X^n},
\]
e in particolare se $p(X) \in K[X]$, allora $\psi_\star(p(X)) = p(X)$.

A ciò aggiungiamo due fatti generali:
(i) Per un'estensione $K \leq F$ algebrica, per ogni $x \in F$ esiste un polinomio non nullo in $K[X]$ ucciso da $x$.
(ii) Per un campo $F$ algebricamente chiuso, per ogni polinomio $p(X) \in F[X]$ tutte le radici di $p(X)$ sono in $F$. A maggior ragione, se $F$ contiene $K$, ciò è vero per ogni polinomio in $K[X]$.

Da questi fatti otteniamo:
(1) Che l'estensione $K \leq \psi(F_1)$ è algebrica. (Perché?)
(2) Che $\psi(F_1)$ è un campo algebricamente chiuso. (Perché?)
(3) In tutta generalità, possiamo mostrare che se abbiamo una torre di campi $K \leq F \leq E$ dove le estensioni $K \leq E$ e $K \leq F$ sono entrambe algebriche (in realtà è sufficiente supporre che lo sia $K \leq E$) e $E$ e $F$ sono entrambi campi algebricamente chiusi, allora deve necessariamente valere $E = F$. (Perché?)

Quindi applicando la (3) al caso di $\psi(F_1)$, concludere che debba essere $\psi(F_1) = F_2$.

[Cantor99]

Ciao fmnq, grazie ancora. Riconosco che sia il momento di frenare la mia curiosità dato che trovo difficoltà a seguirti su alcuni punti. Inoltre, come da spirito, abbiamo fatto una bella chiacchierata

Grazie, sei stato chiarissimo nonché gentilissimo. In merito all'esercizio, come posso provare che la chiusura algebrica $ \overline{K} $ è unica a meno di isomorfismi? Nel nostro corso abbiamo usato un laconico "si potrebbe dimostrare", però sono curioso ;D (s'è facile mi basta un hint altrimenti qualche chiacchiera informale)

Per quanto riguarda la costruzione dell'elemento massimale ho commesso qualche errore? Potresti, infine, solo mostrarmi come concludere che $M=F_{1}$? Grazie mille

[fmnq]

Per quanto riguarda la costruzione dell'elemento massimale ho commesso qualche errore? Potresti, infine, solo mostrarmi come concludere che $M=F_{1}$? Grazie mille

Eravamo fermi con l'insieme ordinato delle coppie $\mathcal{E}$ e un suo elemento massimale $(M, \psi)$. Se supponessimo $M \ne F_1$, si avrebbe $\alpha \in F_1 \setminus M$, che è algebrico su $M$ dato che l'estensione $M \leq F_1$ è algebrica (lo è $K \leq F_1$, quindi a maggior ragione anche $M \leq F_1$). Esiste quindi $p(X) \in M[X]$ un polinomio irriducibile non nullo ucciso da $\alpha$.

Qui potremmo osservare che, dato che $F_2$ è algebricamente chiuso, allora questo ha una radice per il polinomio $\psi_\star(p(X))$ (con la notazione del commento precedente) e, scegliendone una, diciamo $\beta \in F_2$, allora la funzione $\psi : M \to F_2$ ammette un'estensione $\psi' : M(\alpha) \to F_2$ indotta dall'assegnazione $\psi'(\alpha) := \beta$. In questo modo abbiamo ottenuto la coppia $(M(\alpha), \psi')$ in $\mathcal{E}$ strettamente maggiore di $(M, \psi)$, che è massimale, giungendo a una contraddizione.

Tuttavia non so se tu abbia abbastanza nozioni di teoria dei campi per sapere che quella $\psi'$ sia ben definita. Un riferimento per la dimostrazione è Fields and Galois Theory di Milne, capitolo 2, proposizione 2.1, punto (b).

[Cantor99]

Adesso so da dove iniziare, grazie ancora @fmnq