Chiusura algebrica di un campo

Messaggioda Cantor99 » 18/02/2019, 15:57

Salve avrei bisogno di un chiarimento sui seguenti concetti

Siano $K,F$ campi. La chiusura algebrica di $K$ in $F$ è l'insieme $\tilde{K}$ degli elementi algebrici di $F$ su $K$


Sia $K$ un campo. Un'estensione $\overline{K}$ di $K$ si dice chiusura algebrica di $K$ se e solo se $\overline{K}$ è algebricamente chiuso e $\overline {K}$ è un'estensione algebrica di $K$


Non riesco a capire la differenza fra i due, mi sembrano due concetti fin troppo simili. Grazie a chi risponderà
Cantor99
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 438 di 1238
Iscritto il: 06/08/2017, 10:52
Località: Dragoni

Re: Chiusura algebrica di un campo

Messaggioda spugna » 19/02/2019, 01:09

C'è innanzitutto una differenza concettuale: nel primo caso la chiusura di $K$ è un campo univocamente determinato (come sottocampo di $F$), mentre nel secondo si intende una qualsiasi estensione di $K$ con quelle due proprietà.

Detto questo, la differenza più grossa è che nel primo caso il campo che ottieni dipende anche da $F$, e in particolare potresti non ottenere un campo algebricamente chiuso, perché nessuno ti garantisce che ogni polinomio a coefficienti in $K$ abbia una radice in $F$. Se ad esempio $K=QQ$ e $F=RR$ ottieni il campo dei numeri reali algebrici su $QQ$, che però non soddisfa la seconda definizione (i polinomi di grado $2$ con discriminante negativo continuano a non avere radici). Questo problema però non si presenta se $F$ è algebricamente chiuso, perché in tal caso lo è anche la chiusura di $K$ in $F$ (esercizio facile), che quindi è una chiusura algebrica di $K$.
$2022=phi^15+phi^13+phi^10+phi^5+phi^2+phi^(-3)+phi^(-6)+phi^(-11)+phi^(-16)$
Avatar utente
spugna
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 352 di 818
Iscritto il: 05/07/2016, 20:40

Re: Chiusura algebrica di un campo

Messaggioda Cantor99 » 19/02/2019, 16:46

Due domande
spugna ha scritto:C'è innanzitutto una differenza concettuale: nel primo caso la chiusura di $K$ è un campo univocamente determinato (come sottocampo di $F$), mentre nel secondo si intende una qualsiasi estensione di $K$ con quelle due proprietà.

Quando, in riferimento a $\tilde{K}$, dici che è univocamente determinato intendi per definizione (essendo definita come un insieme e non come un'estensione)?

Sempre con riferimento a $QQ$, chi è la sua chiusura algebrica? Non può essere l'insieme dei numeri algebrici reali né, credo, $CC$ perché $RR$ è già un'estensione trascendente di $QQ$...

Invece, per quanto riguarda $ZZ_{p}$ (curiosità mia) com'è la sua chiusura algebrica?

Infine, riguardo il tuo esercizio, potresti darmi un hint?
Grazie ancora
Cantor99
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 440 di 1238
Iscritto il: 06/08/2017, 10:52
Località: Dragoni

Re: Chiusura algebrica di un campo

Messaggioda Cantor99 » 19/02/2019, 17:30

Cantor99 ha scritto:Sempre con riferimento a $QQ$, chi è la sua chiusura algebrica? Non può essere l'insieme dei numeri algebrici reali né, credo, $CC$ perché $RR$ è già un'estensione trascendente di $QQ$...

Comunque riguardo questo potrei, forse fare così: noi, usando (senza dimostrarlo) il fatto che ogni campo $K$ ammette un'estensione $F$ algebricamente chiusa, abbiamo provato che la chiusura algebrica di $K$ in $F$ è algebricamente chiusa. Ne abbiamo dedotto che ogni campo ammette una chiusura algebrica
Ora, visto che $CC$ è un'estensione algebricamente chiusa di $QQ$, la chiusura algebrica di $QQ$ in $CC$ è la chiusura algebrica di $QQ$
Cantor99
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 441 di 1238
Iscritto il: 06/08/2017, 10:52
Località: Dragoni

Re: Chiusura algebrica di un campo

Messaggioda spugna » 20/02/2019, 01:56

Cantor99 ha scritto:
spugna ha scritto:C'è innanzitutto una differenza concettuale: nel primo caso la chiusura di $K$ è un campo univocamente determinato (come sottocampo di $F$), mentre nel secondo si intende una qualsiasi estensione di $K$ con quelle due proprietà.

Quando, in riferimento a $\tilde{K}$, dici che è univocamente determinato intendi per definizione (essendo definita come un insieme e non come un'estensione)?


Sì.

Cantor99 ha scritto:noi, usando (senza dimostrarlo) il fatto che ogni campo $ K $ ammette un'estensione $ F $ algebricamente chiusa, abbiamo provato che la chiusura algebrica di $ K $ in $ F $ è algebricamente chiusa


Questo è esattamente l'"esercizio facile" che avevo scritto nel messaggio precedente. Quindi sì, la chiusura algebrica di $QQ$ si può definire dentro $CC$.


Per quanto riguarda la chiusura algebrica di $ZZ_p$ servono alcuni fatti di base sui campi finiti: per ogni intero $d>=1$ si ha l'estensione $\mathbb{F}_{p^d} \supset ZZ_p$ di grado $d$, che contiene le radici di tutti i polinomi irriducibili di grado $d$, quindi $\overline{ZZ_p}$ deve contenere tutti gli $\mathbb{F}_{p^d}$ (a meno di isomorfismi); inoltre, poiché $\mathbb{F}_{p^d}$ ha un sottocampo isomorfo a $\mathbb{F}_{p^{d'}}$ se e solo se $d'$ è un divisore di $d$, è sufficiente che ci siano tutti gli $\mathbb{F}_{p^{m!}}$ al variare di $m$ tra gli interi positivi. A questo punto puoi prendere $\overline{ZZ_p}:=\bigcup_{m \in NN^+} \mathbb{F}_{p^{m!}}$, che è un'unione crescente (in realtà c'è un abuso di notazione perché $\mathbb{F}_{p^{m!}}$ non è davvero un sottocampo di $\mathbb{F}_{p^{(m+1)!}}$: per formalizzare si possono fissare delle mappe di inclusione $i_m:\mathbb{F}_{p^{m!}}\rightarrow \mathbb{F}_{p^{(m+1)!}}$ per poi definire definire $\overline{ZZ_p}$ come limite diretto). Questo campo è chiaramente un'estensione algebrica di $ZZ_p$, e resta da dimostrare che è algebricamente chiuso: ogni polinomio irriducibile di grado $d$, avendo un numero finito di coefficienti, è anche un polinomio a coefficienti in $\mathbb{F}_{p^k}$ per qualche $k$, quindi le sue radici stanno in $\mathbb{F}_{p^{kd}}$.
$2022=phi^15+phi^13+phi^10+phi^5+phi^2+phi^(-3)+phi^(-6)+phi^(-11)+phi^(-16)$
Avatar utente
spugna
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 353 di 818
Iscritto il: 05/07/2016, 20:40

Re: Chiusura algebrica di un campo

Messaggioda Cantor99 » 20/02/2019, 04:37

Grazie, sei stato chiarissimo nonché gentilissimo. In merito all'esercizio, come posso provare che la chiusura algebrica $\overline{K}$ è unica a meno di isomorfismi? Nel nostro corso abbiamo usato un laconico "si potrebbe dimostrare", però sono curioso ;D (s'è facile mi basta un hint altrimenti qualche chiacchiera informale)
Cantor99
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 442 di 1238
Iscritto il: 06/08/2017, 10:52
Località: Dragoni

Re: Chiusura algebrica di un campo

Messaggioda spugna » 21/02/2019, 03:18

Serve il lemma di Zorn: se $F_1$ e $F_2$ sono due chiusure algebriche di $K$, l'inclusione $K \rightarrow F_2$ si può estendere a un omomorfismo $\psi:F_1 \rightarrow F_2$, quindi si può supporre che $F_1$ sia un sottocampo di $F_2$. A questo punto si conclude per assurdo: cosa succede se esiste un $\alpha \in F_2 \setminus F_1$?
$2022=phi^15+phi^13+phi^10+phi^5+phi^2+phi^(-3)+phi^(-6)+phi^(-11)+phi^(-16)$
Avatar utente
spugna
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 354 di 818
Iscritto il: 05/07/2016, 20:40

Re: Chiusura algebrica di un campo

Messaggioda Cantor99 » 22/02/2019, 17:37

Potresti chiarire meglio come, con il lemma di Zorn, l'inclusione $K\to F$ si estende ad un omomorfismo $\psi :F_{1} \to F_{2}$?

Provo a rispondere alla tua domanda: se $\alpha\in F_{2}\backslash F_{2}$ allora $\alpha\in F_{2}$ e $\alpha\notin F_{1}$, cioè $\alpha$ è algebrico su $F_{2}$ ma non su $F_{1}$ e ciò dovrebbe essere assurdo perché $F_{1}$ è una chiusura algebrica!
Cantor99
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 443 di 1238
Iscritto il: 06/08/2017, 10:52
Località: Dragoni

Re: Chiusura algebrica di un campo

Messaggioda fmnq » 22/02/2019, 18:07

Cantor99 ha scritto:Potresti chiarire meglio come, con il lemma di Zorn, l'inclusione $K\to F$ si estende ad un omomorfismo $\psi :F_{1} \to F_{2}$?


Quando vedi "lemma di Zorn", la prima cosa che devi pensare è come creare un insieme ordinato in cui un elemento massimale è quello che cerchi. Qui vuoi estendere $K \to F_2$ a $\psi : F_1 \to F_2$, quindi un'idea potrebbe essere di prendere l'insieme delle coppie $(L, \phi)$ dove $K \subseteq L \subseteq F_1$ è un campo intermedio e $\phi : L \to F_2$ è una funzione che estende $K \to F_2$ (cioè $phi$ ristretto a $K$ è $K \to F_2$). Questo insieme non è vuoto poiché contiene $(K, K \to F_2)$, e in particolare è ordinato in modo ovvio dicendo che $(L, \phi) \leq (L', \phi')$ se $L \subseteq L'$ e $\phi'$ ristretta a $L$ coincide con $\phi$. A questo punto:
(1) Col lemma di Zorn ottieni un elemento massimale $(M, \psi)$ (come?) e...
(2) Dimostri che deve essere $M = F_1$. Ma come? (Prova per assurdo.)

Cantor99 ha scritto:Provo a rispondere alla tua domanda: se $\alpha\in F_{2} \backslash F_{1}$ allora $\alpha\in F_{2}$ e $\alpha\notin F_{1}$, cioè $\alpha$ è algebrico su $F_{2}$ ma non su $F_{1}$ e ciò dovrebbe essere assurdo perché $F_{1}$ è una chiusura algebrica!


L'idea è giusta, ma in che modo usi il fatto che $F_1$ sia algebricamente chiuso? Non potrebbe capitare che $F_2$ abbia un sottocampo proprio anch'esso algebricamente chiuso contenente $K$?

Nota bene che qui abbiamo $K \to F_1$ e $K \to F_2$, e la mappa $\psi : F_1 \to F_2$ commuta con le due inclusioni.
fmnq
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 252 di 764
Iscritto il: 03/10/2017, 23:14

Re: Chiusura algebrica di un campo

Messaggioda Cantor99 » 23/02/2019, 12:59

Ciao fmnq. Provo a rispondere
fmnq ha scritto:(1) Col lemma di Zorn ottieni un elemento massimale $(M, \psi)$ (come?) e...

Considero una parte $(\mathcal E, \subseteq)$ totalmente ordinata dell'insieme $\mathcal T$ delle coppie del tipo $(L,\phi)$, con $K\le L\le F_{1}$ e $\phi : L\to F_{2}$ un omomorfismo. Ora voglio trovare un maggiorante per $\mathcal E$. Sia
\[
T=\bigcup_{K\in \mathcal E} K
\]
Se $x,y\in T$ allora esistono $K_{1},K_{2}\in \mathcal E$ tali che $x\in K_{1}$ e $y\in K_{2}$. Poiché gli elementi di $\mathcal E$ sono confrontabili, posso supporre $K_{1}\le K_{2}$ e $x-y,xy^{-1}\in K_{2}$. Pertanto $x-y,xy^{-1}\in T$, cioè $T$ è un sottocampo di $F_{1}$ che contiene $K$.
Scelgo, poi, per ogni elemento $x\in T$ una funzione $\phi_{x} : L_{x} \to F_{2}$, ove $L_{x}\in \mathcal E$ è un elemento che contiene $x$. Visto che le funzioni di questo tipo sono tutte confrontabili, posso considerare l'applicazione
\[
\varphi : x\in T \to \phi_{x}(x)\in F_{2}
\]
Termino provando che $\varphi$ è un omomorfismo. Siano $x,y\in T$ e $K'$ un elemento di $\mathcal E$ che contiene $x$e $y$ : allora $xy,x+y\in K'$ e $\phi_{xy}$ e$\phi_{x+y}$ sono confrontabili con $\phi_{x}$ e $\phi_{y}$. Pertanto
\[
\varphi(xy)=\phi_{xy}(xy)=\phi_{xy}(x)\phi_{xy}(y)=\phi_{x}(x)\phi_{y}(y)=\varphi(x)\varphi(y)
\]
\[
\varphi(x+y)=\phi_{x+y}(x+y)=\phi_{x+y}(x)+\phi_{x+y}(y)=\phi_{x}(x)+\phi_{y}(y)=\varphi(x)+\varphi(y)
\]
Pertanto $(T,\varphi)$ è un maggiorante di $\mathcal E$ e l'insieme $\mathcal T$ è induttivo. Segue dal Lemma di Zorn che esiste un elemento massimale $(M,\psi)$.
fmnq ha scritto:(2) Dimostri che deve essere $M = F_1$. Ma come? (Prova per assurdo.)

Se fosse $M\ne F_{1}$ la coppia $(F_{1},\psi)$ sarebbe un elemento di $\mathcal T$ tale che $(M,\psi) < (F_ {1},\psi)$, che è assurdo per la massimalità di $(M,\psi)$. Questo, forse non troppo formalmente, dovrebbe essere ciò che intendeva spugna!
fmqn ha scritto:
Cantor99 ha scritto:Provo a rispondere alla tua domanda: se $\alpha\in F_{2} \backslash F_{1}$ allora $\alpha\in F_{2}$ e $\alpha\notin F_{1}$, cioè $\alpha$ è algebrico su $F_{2}$ ma non su $F_{1}$ e ciò dovrebbe essere assurdo perché $F_{1}$ è una chiusura algebrica!


L'idea è giusta, ma in che modo usi il fatto che $F_1$ sia algebricamente chiuso? Non potrebbe capitare che $F_2$ abbia un sottocampo proprio anch'esso algebricamente chiuso contenente $K$?

Nota bene che qui abbiamo $K \to F_1$ e $K \to F_2$, e la mappa $\psi : F_1 \to F_2$ commuta con le due inclusioni.

Qui penso di essere in alto mare :? soprattutto perché non riesco a vedere il ruolo di $\psi$
Cantor99
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 444 di 1238
Iscritto il: 06/08/2017, 10:52
Località: Dragoni

Prossimo

Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite