anelli noetheriani

Messaggioda margherita.ciampi » 25/02/2019, 10:29

Salve a tutti, devo dimostrare questa proposizione:

Se $A$ è un anello commutativo ed è prodotto diretto dei suoi ideali $A_1,... A_n$ . $A$ è noetheriano se e solo se ciascun $A_i$ è noetheriano.

l'implicazione "se ciascun $A_i$ è noetheriano allora $A$ è noetheriano" l'ho dimostrata cosi:

Per ipotesi $A$ è prodotto diretto dei suoi ideali $A_1,... A_n$ , cioè:
$A=A_1+A_2+...+A_n$ ;
$A_i \cap (A_1+A_2+...+A_{i-1}+A_{i+1}+...+A_n)=0$
Siano $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ noetheriani, per ogni $i,j\in \{ 1,...,n\}$, tali che $A=A_i+A_j$ e $A_i \cap A_j=\{0\}$. Consideriamo ora il quoziente, risulta:
$\frac {A} {A_i} = \frac {A_i+A_j} {A_i} ≃\frac {A_j} {A_i \cap A_j}= \frac {A_j} {\{0\}} ≃ A_j$

Ne segue che il quoziente $A/A_i$ è noetheriano e, (per la proposizione 1) , lo è anche $A$ .
(Proposizione 1 : Sia $A$ un anello commutativo e $H$ un ideale di $A$. Se $A$ è noetheriano, anche il quoziente $A/H$ è noetheriano. Viceversa, se$H$ e $A/H$ sono anelli noetheriani, lo è anche $A$).

per quanto riguarda l'altra implicazione non so proprio come proseguire.
margherita.ciampi
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Re: anelli noetheriani

Messaggioda fmnq » 25/02/2019, 11:26

Induzione su $n$?
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Re: anelli noetheriani

Messaggioda margherita.ciampi » 25/02/2019, 11:44

si ci avevo pensato ma non riesco a ragionarci ... cioè non riesco ad impostare la dimostrazione :(
margherita.ciampi
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Re: anelli noetheriani

Messaggioda fmnq » 25/02/2019, 12:14

Parti da $n=2$.
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Re: anelli noetheriani

Messaggioda fmnq » 25/02/2019, 12:27

Altrimenti, ricordati come son fatti gli ideali in $A$ e cosa significa che $A$ sia il prodotto degli $A_i$.
fmnq
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Re: anelli noetheriani

Messaggioda margherita.ciampi » 25/02/2019, 14:17

fmnq ha scritto:Altrimenti, ricordati come son fatti gli ideali in $A$ e cosa significa che $A$ sia il prodotto degli $A_i$.

allora essendo $A$ noetheriano è finitamente generabile così come i suoi ideali..... ma non penso che basti!
margherita.ciampi
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Re: anelli noetheriani

Messaggioda fmnq » 25/02/2019, 14:31

margherita.ciampi ha scritto: allora essendo $A$ noetheriano è finitamente generabile così come i suoi ideali..... ma non penso che basti!


Nella tua dimostrazione hai mostrato che nel caso $A$ sia prodotto di $A_1$ e $A_2$, entrambi sono quozienti di $A$. Quindi non sono "solo" ideali. Cos'altro sono?

Se $A$ è in generale un prodotto diretto di suoi ideali, puoi estendere il ragionamento?
fmnq
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Re: anelli noetheriani

Messaggioda margherita.ciampi » 25/02/2019, 15:44

[quote="margherita.ciampi"]

Siano $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ noetheriani, per ogni $i,j\in \{ 1,...,n\}$, tali che $A=A_i+A_j$ e $A_i \cap A_j=\{0\}$. Consideriamo ora il quoziente, risulta:
$\frac {A} {A_i} = \frac {A_i+A_j} {A_i} ≃\frac {A_j} {A_i \cap A_j}= \frac {A_j} {\{0\}} ≃ A_j$


per la proposizione 1 essendo $A$ noetheriano e $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ si ha anche che i quozienti $A/A_i=A_j$ e $A/A_j=A_i$ sono noetheriani. Ne segue che, essendo $A$ prodotto diretto dei suoi ideali essi saranno tutti noetheriani???
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Re: anelli noetheriani

Messaggioda fmnq » 25/02/2019, 17:34

margherita.ciampi ha scritto:Siano $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ noetheriani, per ogni $i,j\in \{ 1,...,n\}$, tali che $A=A_i+A_j$ e $A_i \cap A_j=\{0\}$. Consideriamo ora il quoziente, risulta:
$\frac {A} {A_i} = \frac {A_i+A_j} {A_i} ≃\frac {A_j} {A_i \cap A_j}= \frac {A_j} {\{0\}} ≃ A_j$


per la proposizione 1 essendo $A$ noetheriano e $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ si ha anche che i quozienti $A/A_i=A_j$ e $A/A_j=A_i$ sono noetheriani. Ne segue che, essendo $A$ prodotto diretto dei suoi ideali essi saranno tutti noetheriani???


Sì, sono noetheriani gli ideali "fattori" nella formulazione di $A$ come prodotto diretto. Più precisamente, la condizione di $A$ di essere prodotto diretto degli $A_i$, che è quella che hai scritto tu, può essere vista proprio come un prodotto diretto, cioè
\[
A \cong \prod_{i=1}^n{A_i},
\]
nel senso che sappiamo che esistono degli $e_i \in A_i$ tali che $1 = e_1 + \cdots + e_n$, e che soddisfano le relazioni
\[
e_i e_j = 0
\quad \text{per $i \ne j$},
\qquad
e_i^2 = e_i,
\qquad
A_i = Ae_i.
\]
In questo senso gli $A_i$ sono a tutti gli effetti degli anelli, se consideriamo $e_i$ come unità, e $A$ è isomorfo al loro prodotto diretto. Per ogni $i \in \{1, ..., n\}$ fissato, il prodotto degli $A_j$, per $j \ne i$, è un ideale di $A$, ed è proprio il kernel della proiezione canonica $A \to A_i$, quindi $A_i$ è sempre un anello quoziente di $A$, che di conseguenza deve essere Noetheriano per la proposizione 1. (In realtà da qui puoi mostrare anche l'implicazione che hai già dimostrato.)
Ultima modifica di fmnq il 25/02/2019, 17:59, modificato 1 volta in totale.
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Re: anelli noetheriani

Messaggioda margherita.ciampi » 25/02/2019, 17:56

ok, tutto molto chiaro grazie mille :)! Se invece volessi procedere per induzione su $n$?
margherita.ciampi
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