Salve a tutti, devo dimostrare questa proposizione:
Se $A$ è un anello commutativo ed è prodotto diretto dei suoi ideali $A_1,... A_n$ . $A$ è noetheriano se e solo se ciascun $A_i$ è noetheriano.
l'implicazione "se ciascun $A_i$ è noetheriano allora $A$ è noetheriano" l'ho dimostrata cosi:
Per ipotesi $A$ è prodotto diretto dei suoi ideali $A_1,... A_n$ , cioè:
$A=A_1+A_2+...+A_n$ ;
$A_i \cap (A_1+A_2+...+A_{i-1}+A_{i+1}+...+A_n)=0$
Siano $A_i$ e $A_j$ ideali di $A$ noetheriani, per ogni $i,j\in \{ 1,...,n\}$, tali che $A=A_i+A_j$ e $A_i \cap A_j=\{0\}$. Consideriamo ora il quoziente, risulta:
$\frac {A} {A_i} = \frac {A_i+A_j} {A_i} ≃\frac {A_j} {A_i \cap A_j}= \frac {A_j} {\{0\}} ≃ A_j$
Ne segue che il quoziente $A/A_i$ è noetheriano e, (per la proposizione 1) , lo è anche $A$ .
(Proposizione 1 : Sia $A$ un anello commutativo e $H$ un ideale di $A$. Se $A$ è noetheriano, anche il quoziente $A/H$ è noetheriano. Viceversa, se$H$ e $A/H$ sono anelli noetheriani, lo è anche $A$).
per quanto riguarda l'altra implicazione non so proprio come proseguire.