Re: equazioni congruenziale

Messaggioda 3m0o » 02/03/2019, 16:40

Però in un gruppo, l'esistenza dell elemento neutro a sinistra implica l'esistenza dell'elemento neutro a destra, infatti
\( (G,\ast)\) è un gruppo se valgono le seguenti condizioni
- Associatività di \( \ast \)
- Esistenza dell'elemento neutro a sinistra
- Esistenza dell'elemento inverso a sinistra

Prova a dimostrarlo
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dimostrazione che l'elemento inverso a sinistra è elemento inverso a destra, sia \( g \in G \) e \( g^{-1}\) l'inverso a sinistra di \( g \), e sia \( e_G \) l'elemento neutro a sinistra.
\( g \ast g^{-1} = (g^{-1})^{-1} \ast g^{-1} \ast g \ast g^{-1} = (g^{-1})^{-1} \ast e_G \ast g^{-1} = (g^{-1})^{-1} \ast g^{-1} = e_G \)
E d'altra parte
\( (g^{-1})^{-1} \ast g^{-1} \ast g \ast g^{-1} = e_G \ast g \ast g^{-1} = g \ast g^{-1} = e_G \)

Dimostrazione che l'elemento neutro a sinistra è elemento neutro a destra.
\( g \ast e_G = g \ast g^{-1} \ast g = e_G \ast g = g \)

E dunque l'unicitià la dimostri come sopra (altro commento)
Io ho messo gli assiomi con inverso a sinistra e neutro a sinistra, ma è del tutto equivalente facendo inverso a destra e neutro a destra.

Quindi sostanzialmente il fatto che in altre strutture algebriche possa esistere l'elemento neutro a sinistra e non a destra (o viceversa) deriva dal fatto che non è assicurato che ogni elemento possiede un inverso.

Infatti nel esempio di prima \( \odot(x,y)=y \) non esiste elemento inverso a sinsitra, e dunque
\(e_G=\odot(g,e_G) \neq \odot(g, \odot(g^{-1}, g )) =\odot(g, g) = g \)
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Re: equazioni congruenziale

Messaggioda sara09 » 02/03/2019, 18:19

Ma scusa il teorema dell’elemento neutro non dice che se c’è un elemento neutro a destra non c’è quello a sinistra e viceversa perciò va calcolato solo il neutro a destra che è la coppia (0,1)
sara09
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Re: equazioni congruenziale

Messaggioda 3m0o » 03/03/2019, 04:49

Non ho idea di cosa sia il teorema dell'elemento neutro, e così come lo hai enunciato per un gruppo è sicuramente falso
Controesempio \( (\mathbb{Z},+) \) è un gruppo abeliano e possiede come elemento neutro \( 0 \) sia a destra che a sinsitra
\( \forall a \in \mathbb{Z} \) abbiamo che \( 0+ a= a+0 = a \)
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