polinomi

[sara09]

Ok, se \(p:x^4-4\) non ha fattori di grado \(1\) e \(3\), che opzioni ti rimangono? Tieni conto che quel polinomio può anche essere scritto come \(x^4+1\).

Che non può avere un fattore di grado tre....quindi si può fare anche senza ruffini? Mentre invece il punto tre come lo faccio c’è non ho capito se considero due equazioni generiche di grado 5 a cosa devo sostituire 1 e 2?

[vict85]

Quello che intendevo dire è che sai già come scomporre quel polinomio in componenti irriducibili. Ovvero \(x^4 + 1 = (x^2+2)(x^2+3)\) (nota che \(-2 = 3\) e che \(1 = -4\) ). Puoi verificare che sono irriducibili.

Se è di grado \(5\) e ha \(1\) e \(2\) come radici allora sai che \(\displaystyle p = a(x-1)(x-2)f = a(x+4)(x+3)f \) dove \(a\in\mathbb{Z}_5-\{0\}\) e \(f\) è monico. Il resto lo lascio immaginare a te.

[sara09]

Quello che intendevo dire è che sai già come scomporre quel polinomio in componenti irriducibili. Ovvero \(x^4 + 1 = (x^2+2)(x^2+3)\) (nota che \(-2 = 3\) e che \(1 = -4\) ). Puoi verificare che sono irriducibili.

Se è di grado \(5\) e ha \(1\) e \(2\) come radici allora sai che \(\displaystyle p = a(x-1)(x-2)f = a(x+4)(x+3)f \) dove \(a\in\mathbb{Z}_5-\{0\}\) e \(f\) è monico. Il resto lo lascio immaginare a te.

Non ho capito potresti spiegarmi meglio

[vict85]

Cosa non hai capito?

[sara09]

Cosa non hai capito?

Perché 2 e 3 c’è se io vado a svolgere (x+2)(x+3) non ottengo x^4-1

[vict85]

Hai scritto sbagliato tutti e tra i polinomi. Si tratta di \((x^2+2)(x^2+3) = x^4+1\). Tu cosa hai ricavato? E ricorda che non siamo in \(\mathbb{Z}\).

[sara09]

Hai scritto sbagliato tutti e tra i polinomi. Si tratta di \((x^2+2)(x^2+3) = x^4+1\). Tu cosa hai ricavato? E ricorda che non siamo in \(\mathbb{Z}\).

Sisi io sinceramente ho scomposto (x^4-4) come (x^4-1)(x^4+1) poi per il punto uno ho calcolato f(0),f(1),f(3),f(4) e non ottengo mai zero quindi non ha radici ed è irriducibile ora gli altri due punti non so come andare avanti

[Bladerunner2019]

Ciao, continuando l'esercizio, ti trovi che :
Decomposto il polinomio (x^2-2)(x^2+2) ed è un prodotto di polinomi irriducibili non avendo radici.

(i) Qua , non ha fattori irriducibili di grado 3

(ii) In generale , seguendo ruffini, se ho un polinomio di grado 4 a coefficenti in un campo , se è privo di radici , questo polinomio posso scomporlo in due polinomi di grado 2 , quindi non può avere un fattore di grado 3. Impossibile.

(iii) Questo è l'unico punto che non mi trovo perchè , ho fatto le due equazioni

sost(-1) -a-b-c+d-e+f=0
sost(-2) -32a+16b-8c+4d-2e+f=0

solo che mi vengono infinite soluzioni , ho controllato online tramite calcolo e mi da sempre infinite , come lo risolvo questo punto? Grazie infinitamente della risposta nel caso

[gugo82]

Moderatore: gugo82

"Continuando l'esercizio" dopo un anno?
La prossima volta, butta uno sguardo alla data dell'ultimo post.

Chiudo.