polinomi

[sara09]

mi aiutate a risolvere questo esercizio?
Decomporre f = x4 − ̄4 ∈ Z5[x] come prodotto di polinomi monici irriducibili in Z5[x].
(i) In Z5[x], f ha fattori irriducibili di grado 3?
(ii) In generale, se un polinomio di grado 4 a coefficienti in un campo e privo di radici, questo
polinomio pu`o avere un fattore di grado 3?
(iii) Quanti sono i polinomi di grado 5 in Z5[x] che hanno sia ̄1 che ̄2 come radici?

[Reyzet]

È una differenza di quadrati quindi...
1) evidentemente no (basta scomporlo)
2) usa il teorema di Ruffini
3) prendi il generico polinomio di grado 5 e sostituisci -1 e -2 imponendo che faccia zero (troverai due equazioni in 6 incognite, dipende dalle soluzioni del sistema, così su due piedi direi $4•5^3$, osservando che il coefficiente del termine di quinto grado non può fare zero, ma devi fare comunque i conti)

[sara09]

È una differenza di quadrati quindi...
1) evidentemente no (basta scomporlo)
2) usa il teorema di Ruffini
3) prendi il generico polinomio di grado 5 e sostituisci -1 e -2 imponendo che faccia zero (troverai due equazioni in 6 incognite, dipende dalle soluzioni del sistema, così su due piedi direi $4•5^3$, osservando che il coefficiente del termine di quinto grado non può fare zero, ma devi fare comunque i conti)

ma per il punto uno intendi scomporre f in $ (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2+2) $ e poi calcolare f(0),f(1),f(2),f(3),f(4) poi poiché sono diversi da zero non ha radici di grado tre questo intendi?

[gugo82]

Ti risulta che $x - sqrt(2)$ e $ x + sqrt(2)$ sono polinomi di $ZZ_5[x]$?

[sara09]

cosa intendi...non ho capito? c'è come faccio a vedere se sono polinomi in z5[x]?

[gugo82]

Qual è la definizione di polinomio a coefficienti in un campo?

[sara09]

Scusa ma allora è già scomposto...perché la definizione dice che f1 deve essere associato a f e f1 e monico

[gugo82]

Molto di frequente, recentemente, mi capita di chiedermi perché alcune persone non rispondono alle domande che vengono loro poste...

[sara09]

Molto di frequente, recentemente, mi capita di chiedermi perché alcune persone non rispondono alle domande che vengono loro poste...

Guarda che ho risposto la definizione che mi ha dato il mio professore è per ogni f appartenete a k[x]\{0r} esiste ed è unico f1 appartenete a k[x] tale che f1 è associato a f2 e f1 e monico

[gugo82]

Ma io avevo chiesto cos'è un polinomio...