Quindi spiega i polinomi monici senza dare una definizione di polinomio... Bene.
La definizione te la do io, così può darsi che ne trai giovamento.
Soprattutto, cerca di dimostrare le varie proprietà che ho scritto qui sotto senza dimostrazione.
Siano $mathbb(K)$ un dominio di integrità unitario (in particolare un campo) e $0,1$ i suoi elementi neutri rispetto alla somma ed al prodotto.
Consiederiamo l'insieme $c_{00}(mathbb(K))$ formato dalle successioni $mathbf(p):=(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ di elementi di $mathbb(K)$ che sono
definitivamente nulle, cioè che soddisfano la seguente proprietà:
\[
\exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\quad a_n=0\; .
\]
Su tale insieme si possono definire una somma ed un prodotto ponendo per ogni $mathbf(p)=(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ e $mathbf(q)=(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$:
\[
\begin{split}
\mathbf{p} + \mathbf{q} &:= (a_n+b_n)_{n \in \mathbb{N}}\\
\mathbf{p}\cdot \mathbf{q} &:= \left( \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\right)_{n \in \mathbb{N}}\; ;
\end{split}
\]
tali operazioni godono delle proprietà seguenti:
- sono entrambe associative e commutative,
- $*$ è distributiva rispetto a $+$,
- $+$ ha come elemento neutro la successione nulla $mathbf(o)=(0,0,0,0,...)$ e $*$ ha come elemento neutro la successione $mathbf(u)=(1,0,0,0,...)$,
- ogni elemento $mathbf(p)=(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ha opposto $-mathbf(p):=(-a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ rispetto a $+$,
pertanto l'insieme $c_(00)(mathbb(K))$ con la struttura indotta da tali operazioni forma un anello commutativo unitario che si denota con $mathbb(K)[x]$ e si chiama
anello dei polinomi a coefficienti in $mathbb(K)$ ed ogni suo elemento $mathbf(p)$ si chiama
polinomio a coefficienti in $mathbb(K)$.
Fissato un polinomio $mathbf(p) = (a_n)_(n in NN) in mathbb(K)[x]$ con $mathbf(p) != mathbf(o)$, è facile dimostrare che esiste un unico $N in NN$ tale che $AA n >= N$ risulta $a_n=0$ ed $a_N != 0$: il numero $N$ si chiama
grado di $mathbf(p)$ e si denota con $"grad"(mathbf(p))$ o con $v(mathbf(p))$.
Il polinomio nullo $mathbf(o)$ è l'unico a non avere grado e, per convenzione, talvolta si pone $"grad"(mathbf(o))=-oo$.
Con questa definizione di grado è semplice dimostrare che vale la
regola di addizione dei gradi:
\[
\forall \mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathbb{K}[x],\quad \text{grad}(\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}) = \text{grad}(\mathbf{p}) + \text{grad}(\mathbf{q})
\]
(in cui, se si usa la convenzione $"grad" (mathbf(o)) = -oo$ conviene definire $N+(-oo)=-oo=(-oo)+N$ per ogni $N in NN$). Da ciò segue che $mathbb(K)[x]$ soddisfa la
legge di annullamento del prodotto:
\[
\mathbf{p}\cdot \mathbf{q} = \mathbf{o} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{p} = \mathbf{o} \lor \mathbf{q} = \mathbf{o}\; ,
\]
ossia che $mathbb(K)[x]$ è un
dominio di integrità.
Su $mathbb(K)[x]$ si può inoltre definire un'operazione di prodotto per lo scalare ponendo:
\[
\alpha \bullet \mathbf{p} := (\alpha a_n)_{n\in \mathbb{N}}
\]
per ogni $mathbf(p)=(a_n)_(n in NN) in mathbb(K)[x]$ ed ogni $alpha in mathbb(K)$; l'operazione così definita gode delle proprietà usuali di un prodotto per lo scalare (e perciò il simbolo \(\bullet\) può essere omesso nelle scritture), sicché $mathbb(K)[x]$ si può riguardare anche come modulo su $mathbb(K)$ (o spazio vettoriale, se $mathbb(K)$ è un campo).
Risulta molto semplice dimostrare che l'insieme \(K =\{ \alpha \bullet \mathbf{u}, \text{ con } \alpha \in \mathbb{K}\} \subset \mathbb{K}[x]\) (che coincide con l'insieme dei polinomi di grado $<= 0$) è un sottoanello di $mathbb(K)[x]$ isomorfo a $mathbb(K)$; pertanto ogni elemento $alpha in mathbb(K)$ può essere identificato con il corrispondente elemento \(\alpha \bullet \mathbf{u} \in \mathbb{K}[x]\).
Abbiamo visto che un
polinomio a coefficienti in $mathbb(K)$ altro non è che una successione definitivamente nulla di elementi di $mathbb(K)$.
Per ottenere un polinomio nella forma cui siamo più abituati dalle scuole, ragioniamo come segue.
Scegliamo la famiglia $B=\{ mathbf(p)_k, " con " k in NN\}$, coi polinomi $mathbf(p)_k$ aventi coefficienti $a_(k,n):=\{ (1, ", se " n=k), (0, ", se " n!= k):}$, e scegliamo di denotare ognuno di tali polinomi semplicemente col simbolo $x^k$: dunque, ad esempio:
\[
\begin{split}
x^0 &= \mathbf{p}_0 = (1,0,0,0,0,\dots) = 1\bullet \mathbf{u} = 1 \\
x^1 &= \mathbf{p}_1 = (0,1,0,0,0,\dots ) =: x\\
x^2 &= \mathbf{p}_2 = (0,0,1,0,0,\dots )\\
x^3 &= \mathbf{p}_3 = (0,0,0,1,0,\dots) \\
\text{etc} &\dots
\end{split}
\]
Fatta tale scelta, si vede facilmente che ogni $mathbf(p) in mathbb(K)[x]$ si può esprimere in unico modo come combinazione lineare (finita!) dei vettori della famiglia \(B=\{1,x,x^2,x^3, \dots \}\); in particolare, se $mathbf(p)=(a_n) != mathbf(o)$ con $"grad"(mathbf(p)) = N$, allora risulta:
\[
\mathbf{p} = \sum_{n=0}^N a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_N x^N\; ,
\]
mentre evidentemente $mathbf(o) = 0 mathbf(u) = 0$. Questa notazione serve a fare più velocemente le operazioni tra polinomi, poiché si possono sfruttare tutte le usuali regole di
calcolo letterale (che sono valide per come si sono definite le operazioni di somma e prodotto tra polinomi: ad esempio, prova a dimostrare che $x^n*x^m = x^(n+m)$).
Ritroviamo in questo modo la definizione "scolastica" di polinomio e di grado:
"Un polinomio $mathbf(p)$ nell'indeterminata $x$ è la somma di un numero finito di monomi, cioè di prodotti di coefficienti per potenze (ad esponente naturale) di $x$; ed il grado del polinomio $mathbf(p)$ è il più grande degli esponenti di $x$ che compare nella espressione di $mathbf(p)$".
Ciò detto, i polinomi $x +- sqrt(2)$ non sono elementi di $ZZ_5[x]$ per il semplice fatto che $ZZ_5=\{0,1,2,3,4\}$ e che $sqrt(2)$ non appartiene a $ZZ_5$.