Matematicamente.it

Postereste aiutarmi con il punto i e ii?
Sia $ f = x3 + ̄2x2 − ̄2 ∈ Z7[x]$. Dopo aver calcolato $f( ̄1) e f( ̄2) $si scriva f come prodotto di polinomi monici irriducibili in Z7[x].
(i) A quali tra$ ̄3x3 +x2 − ̄1$ e$ ̄3x3 −x2 + ̄1$ `e associato f in Z7[x]?
(ii) Quanti sono i polinomi monici di grado 4 in Z7[x] che hanno sia ̄1 che ̄2 come radici?

Ho calcolato il punto i facendo 3x=1 mod 7 poi ho moltiplicato il risultato per uno dei due polinomi e il punto due non so come farlo

i polinomi di grado $\le 4$ formano uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $5$ su $ZZ_7$.
L’applicazione $\phi:V\rightarrow \ZZ_7\times\ZZ_7$ data da $\phi(f)=(f(1),f(2))$ e’
lineare e suriettiva. Il nucleo $K$ di $\phi$ ha quindi dimensione $3$ e consiste di $7^3$ elementi.
I polinomi monici in $K$ formano una classe laterale dell'iperpiano dei polinomi
di grado $\le 3$ in $K$. Si tratta quindi di $7^2$ elementi.