Costruzione omomorfismo

Messaggioda Indrjo Dedej » 08/03/2019, 14:29

Ciao! :smile:
Il teorema in questione è il seguente.
Siano \(\mathcal A\) e \(\mathcal B\) due gruppi. Per ogni omomorfismo \(f \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B\) esiste uno e un solo omomorfismo \(\phi : \frac{\mathcal A}{\ker f} \mapsto \mathcal B\) per cui \[f=\phi \circ \lambda_f\,,\] dove \(\lambda_f \colon \mathcal A \mapsto \frac{\mathcal A}{\ker f},\, x \mapsto x\ker f\).
\xymatrix{
\mathcal A \ar@/^/[rr]^{\forall f} \ar[dr]_{\lambda_f} & & \mathcal B \\
 & \frac{\mathcal A}{\ker f} \ar[ur]_{\exists!\phi} &
}


Mi interessa provare solo l'esistenza di una siffatta funzione (tutto il resto è semplice) perché la giustificazione che ho trovato scritta in giro mi soddisfa poco. Prendo in esame la relazione \[\phi:=\bigg\{(u,v) \in \frac{\mathcal A}{\ker f} \times \mathcal B \mid \exists x \in \mathcal A \colon \big(\lambda_f(x)=u \land f(x)=v\big)\bigg\}\,.\] \(\phi\) è una funzione:
  • Per definizione stessa di \(\phi\), per ogni \(u \in \frac{\mathcal A}{\ker f}\) esiste almeno un \(v \in \mathcal B\) per cui \((u,v) \in \phi\).
  • Questa \(v\) è unica. Infatti per ogni \(w \in \mathcal B\) se \((u,v) \in \phi\) allora esiste almeno un \(y \in \mathcal A\) tale che \(u=\lambda_f(y)=y\ker f\) e \(f(y)=w\). Ma è anche \(u=x\ker f\), quindi \(y \in x\ker f\), ovvero esiste almeno un \(k \in \ker f\) per cui \(y=xk\). Pertanto \[w=f(y)=\underbrace{f(xk)=f(x)f(k)}_{f \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B\text{ omomorfismo}}=f(x)=v\,.\]
Ora per costruzione è banale che \(f=\phi \circ \lambda_f\).
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Re: Costruzione omomorfismo

Messaggioda fmnq » 08/03/2019, 14:51

E' esattamente questo, sì. C'è un unico modo di definire \(\varphi\); se quella posizione è una funzione, allora \(\varphi\) è unica. Hai appena dimostrato che lo è, quindi...
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Re: Costruzione omomorfismo

Messaggioda Indrjo Dedej » 08/03/2019, 20:28

Suppongo che tua intenda \(\phi\) con \(\varphi\).
se quella posizione è una funzione, allora \(\varphi\) è unica. Hai appena dimostrato che lo è, quindi...
... è unica. :D Ora per ora sono fritto e non riesco a capire dove mi vuoi portare.
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Re: Costruzione omomorfismo

Messaggioda fmnq » 08/03/2019, 22:21

Dimostra che se una cosa esiste, è unica (supponi ce ne siano due...). Ora dimostra che la cosa esiste. Allora è unica.

Dov'è l'inghippo? Che non basta mostrare che qualcosa qualcosa è unico, devi anche dimostrare che esiste.

Detto in altri termini, "la cosa è unica" significa che l'insieme delle cose non ha più di un elemento. Ma potrebbe averne zero; questo è il motivo per cui dimostri che la cosa esiste, e non puoi esimerti dal farlo. Se lo fai, hai dimostrato che l'insieme delle cose ha almeno un elemento. Ma allora ne ha ESATTAMENTE uno, né zero né due.
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Re: Costruzione omomorfismo

Messaggioda Indrjo Dedej » 09/03/2019, 11:50

fmnq ha scritto:[...] non basta mostrare che qualcosa qualcoa è unico, devi anche dimostrare che esiste.

Detto in altri termini, "la cosa è unica" significa che l'insieme delle cose non ha più di un elemento. Ma potrebbe averne zero; questo è il motivo per cui dimostri che la cosa esiste, e non puoi esimerti dal farlo. Se lo fai, hai dimostrato che l'insieme delle cose ha almeno un elemento. Ma allora ne ha ESATTAMENTE uno, né zero né due.

Grazie per il ripasso. :D
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Re: Costruzione omomorfismo

Messaggioda Indrjo Dedej » 08/04/2019, 14:32

Ciao di nuovo. :smile:
Mi è venuta in mente una cosa. Scrivo qua in coda perché è collegata a quanto prima.
Siano \(\mathcal A\) e \(\mathcal B\) due gruppi e sia \(H\) un sottogruppo normale di \(\mathcal A\) soddisfacente la seguente proprietà: \[\forall f \in \hom(\mathcal A,\mathcal B)\, \exists ! \zeta \in \hom\bigg(\frac{\mathcal A}{H},\mathcal B\bigg) \colon f= \zeta \circ \pi_H\,,\] dove \(\pi_H \colon \mathcal A \mapsto \frac{\mathcal A}{H},\, x \mapsto xH\) e con \(\hom(\mathcal A,\mathcal B)\) indico l'insieme di tutti e soli gli omomorfismi dal gruppo \(\mathcal A\) al gruppo \(\mathcal B\). Voglio dire qualcosa su \(H\) in relazione a \(\ker f\).
Per ogni \(x \in H\) si ha \(xH=H=\mathtt 1_\mathcal A H\), dove \(\mathtt 1_\mathcal A\) è l'elemento neutro di \(\mathcal A\). Pertanto per come ho definito \(H\) si ha \[f(x)=\zeta(xH)=\zeta(\mathtt 1_\mathcal A H)=f(\mathtt 1_\mathcal A) \quad \text{per ogni \(x \in H\)}\,.\] Abbiamo così che \[x \ker f=f^{-1}(\{f(x)\})=f^{-1}(\{f(\mathtt 1_\mathcal A)\})=\ker f\,,\] che conduce al fatto che \(x \in \ker f\). Riepilogando: ho fatto vedere che ogni elemento di \(H\) è pure elemento di \(\ker f\), vale a dire \(H \subseteq \ker f\). Fine.
Può andare? :)
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Re: Costruzione omomorfismo

Messaggioda fmnq » 11/04/2019, 17:27

Sì, le $f : A\to B$ capaci di indurre un omomorfismo \(\bar f : A/H\to B\) sono esattamente tutte e sole quelle il cui ker contiene $H$.

Puoi anche determinare chi è \(\ker \bar f\); si tratta esattamente del sottogruppo di \(A/H\) che corrisponde ad un ben preciso sottogruppo di $A$ contenente $H$. Quale?
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Re: Costruzione omomorfismo

Messaggioda Indrjo Dedej » 19/04/2019, 12:00

\[
\ker \bar f=\{xH \mid \underbrace{\bar f(xH)}_{=f(x)}=1_\mathcal B\}=\{xH \mid x \in \ker f\}=\frac{\ker f}{H}\,.
\]
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