Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Messaggioda ludovica_97 » 09/03/2019, 18:40

Buonasera,
ho un esercizio in cui devo trovare il gruppo delle unita'. Tramite Il teorema dell'unita' di Dedekind ho trovato che la sua cardinalita' e' due. Ora devo trovare gli elementi.
Il mio professore ha detto che se troviamo due ideali principali che hanno stessa fattorizzazione tramite ideali primi allora facendo la divisione tra i due otteniamo l'unita', ma io non capisco come si fa la divisione. Posto un esempio da lui svolto.
$u_1 = (1 − α)^2/(1 + α) = 7 − 6α + α^2 − α^3$
In cui le fattorizzazioni dei due ideali principali tramite ideali primi sono
$(1 − α)=−2=(p_2)'$
$(1 + α)= 2^2=((p_2)')^2$
e $(p_2)'=(2,1 + α)$
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Re: Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Messaggioda Martino » 10/03/2019, 00:45

Dovresti dirci chi è $alpha$
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Re: Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Messaggioda ludovica_97 » 10/03/2019, 10:13

Martino ha scritto:Dovresti dirci chi è $alpha$

Si, scusami, e' uno zero del mio polinomio che e' $f(x)=x^4+2*x^3+x^2-10$
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Re: Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Messaggioda Martino » 10/03/2019, 12:31

Fai la divisione con resto del polinomio che hai detto per $x+1$. Una volta fatto questo sostituisci $x=alpha$. Troverai un'uguaglianza del tipo

$(1+alpha)P(alpha)=1$.

Segue che

$1/(1+alpha)=P(alpha)$.

Quindi moltiplicando $P(alpha)$ per $(1-alpha)^2$ trovi $u_1$.
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Re: Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Messaggioda ludovica_97 » 10/03/2019, 17:32

Martino ha scritto:Fai la divisione con resto del polinomio che hai detto per $x+1$. Una volta fatto questo sostituisci $x=alpha$. Troverai un'uguaglianza del tipo

$(1+alpha)P(alpha)=1$.

Segue che

$1/(1+alpha)=P(alpha)$.

Quindi moltiplicando $P(alpha)$ per $(1-alpha)^2$ trovi $u_1$.

Ho fatto come dici ma non viene
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Re: Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Messaggioda Martino » 10/03/2019, 18:33

Riprova. E scrivi qui i conti.
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Re: Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Messaggioda ludovica_97 » 10/03/2019, 21:44

Ho sbagliato a scrivere il polinomio, è $x^4+6x^2-3x-6$
Quindi,dividendolo con $x+1$ ottengo $x^3-x^2+7x-10$ con resto 4
A questo punto moltiplico il quoziente della divisione per $(1-a)^2$ dopo aver sostituito x con a e ottengo:
$a^5-2a^4+10a^3-25a^2+13a-10$
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Re: Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Messaggioda Martino » 11/03/2019, 04:52

Adesso puoi ricavare $a^4$ in funzione delle potenze minori di $a$ cioè siccome $a$ è zero di $x^4+6x^2-3x-6$ hai

$a^4=-6a^2+3a+6$

Di conseguenza moltiplicando per $a$ hai

$a^5=-6a^3+3a^2+6a$

Non ti resta che sostituire queste espressioni nella formula da te trovata.

Non ho controllato i tuoi conti. Ovviamente perché venga devono essere giusti.
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Re: Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Messaggioda ludovica_97 » 11/03/2019, 07:09

Ok grazie! Tutto chiaro
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Re: Esercizio teoria dei numeri-gruppo delle unita'

Messaggioda ludovica_97 » 11/03/2019, 10:13

Viene il suo risultato moltiplicato per (-4), c'entra qualcosa il resto della divisione che è 4 oppure è un caso?
Perché divide per l'opposto del resto?
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