Esercizio teoria dei numeri

Messaggioda Fra27 » 11/03/2019, 15:50

Buon pomeriggio a tutti, mi trovo a dover risolvere alcuni esercizi che trattano la distribuzione dei primi. In particolare mi sono bloccata nella risoluzione di questo esercizio:
\[
\frac{n}{2}\le \log {\binom{n}{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}}
\]

Come testo sto usando questo di ELLIA:
http://dm.unife.it/philippe.ellia/Docs/ ... OnLine.pdf


Inizio partendo dal binomiale e usando il Lemma 2.38 del libro. Dopo una serie di passaggi non riesco però a concludere la dimostrazione. Qualche idea?
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Re: Esercizio teoria dei numeri

Messaggioda Reyzet » 12/03/2019, 15:48

Scusa il logaritmo è in base 2 o $e$? E devi usare per forza quel lemma?
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Re: Esercizio teoria dei numeri

Messaggioda Reyzet » 12/03/2019, 18:51

Ci provo, io lo farei così, supponendo che sia in base 2 (non credo neanche sia vero per e, almeno per i primi interi)...
Comunque, intanto per colpa di quel floor farei il caso dispari e il caso pari.
Se $n=2k$ pari si ha intanto $\floor(n/2)=k$ e poi
$((2k),(k))=\frac{2k(2k-1)...(k+1)}{k(k-1)(k-2)...1}=2(2+1/(k-1))(2+2/(k-2))...(k+1)$ queste associazioni hanno senso perché sopra e sotto abbiamo lo stesso numero di termini, dentro le parentesi ho rimaneggiato i termini in modo ovvio, ora ogni termine è più grande di 2, minorando con 2 trovo:
$((2k),(k)) \geq 2^k$ da cui ricordando che $k=n/2$ avremo $n/2 \leq log_{2}((n),(\floor(n/2)))$.
Per n dispari non cambia molto, se $n=2k+1$ il floor della frazione è ancora k e
$((2k+1),(k))=\frac{(2k+1)(2k)!}{k!(k+1)!}=
((2k+1)/(k+1))((2k),(k))=(2-1/(k+1))((2k),(k))$
Ora il primo fattore è maggiore di $\sqrt(2)$ e il secondo per il caso precedente è maggiore di $2^k$ ovvero il tutto è $\geq 2^(k+1/2)$, da ciò risulta passando ai logaritmi che $k+1/2=n/2$ è minore del logaritmo della stessa cosa.
Perciò è vero $\forall n$.

Spero di non aver sbagliato i conti o le minorazioni.
Reyzet
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