Divisione in un campo

Messaggioda alessiocarlini » 11/03/2019, 19:57

Ciao, vado al punto, ho un campo (K,+,.) ed ingenuamente credevo che questo bastasse per usare la consueta algebra su elementi di K e magari anche usando la divisione esistendo l'inverso di ogni elemento di K*.
Forte di questo pensavo di poter scrivere ad esempio questi passaggi
$1/a + 1/b = (a+b)/{ab}$
Sbagliato vero?
Ok per somma ed il prodotto ma non è così immediato per la divisione, no?
Allora come ci si arriva?
Scusate la confusione, sono molto arrugginito, stavo riguardando i campi e .. Mi sono infognato sulla loro .. Utilita/Utilizzo.
Grazie per ogni spunto
Ultima modifica di alessiocarlini il 12/03/2019, 12:16, modificato 2 volte in totale.
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda Reyzet » 11/03/2019, 23:42

Mi sembra che sia vero, se per $1/a$ intendi $a^-1$ inteso come inverso moltiplicativo cioè l'elemento tale che se lo moltiplichi per $a(\ne0)$ dà $1_{\mathbb{K}}$. Infatti basta fare:
$(a+b)/(ab)=(a+b)(ab)^-1=b^-1+a^-1=1/a +1/b$
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda alessiocarlini » 12/03/2019, 10:38

Grazie per la risposta, e felice per la conferma .. Viva i campi allora :-)
Resta il fatto che manca qualche cosa, restando su
$(a+b)/{ab}$
Pensiamo al campo finito modulo p (primo)
In generale
$(ab+c) mod p$ scriviamolo $[ab+c]$ per comodità, è vero che
$[ab+c] = [a][b]+[c]$
mente non è neppure definito
$[(a+b)/{ab}]$ perché frazionario e quindi non in $ZZ$.
Per cui mi domando, quando formalmente è lecito e quando no? L'essere un campo non aiuta in questo.

Forse ho capito, in questo esempio la vera stranezza è che valga la
$[ab+c] = [a][b]+[c]$
Piuttosto che non valga la
$[(a+b)/{ab}]$

Riassumendo, con gli elementi di un campo vale la consueta algebra con + e . ed grazie all'opposto ed all'inverso implicitamente si definisce - e /

Ma in generale nulla nel campo implica le espressioni con i significati in $(RR,+,.)$ del tipo
$[ab+c] = [a][b]+[c]$
Che poi è ovvio, era solo una proprietà del modulo.

Credo di essermi risposto da solo, giusto?
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda gugo82 » 12/03/2019, 17:14

Dipende da come interpreti la “linea di frazione”.

In $RR$ il numero $a/b$ con $b!=0$ si interpreta come prodotto di $a$ con il reciproco di $b$ (che esiste per assioma o per costruzione del campo reale). Nulla, in linea di principio, ti vieta di definire $a/b := a*b^(-1)$ in un qualsiasi campo $mathbb(K)$ per analogia a quanto si fa nel reale.

In particolare, in $ZZ_p$ ($p in NN$ primo) puoi definire $1/a$ come $a^(-1)$ ma ciò non significa che $a^(-1)$ è la classe di equivalenza generata dal reciproco di $a$ in $ZZ$... Perché nessun $a!=+-1$ è dotato di reciproco in $ZZ$!
Con tale definizione ottieni la solita regola di somma $1/a + 1/b = (a+b)/(ab)$, da interpretare come la classe di equivalenza di $(a+b)*(ab)^(-1)$.
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda alessiocarlini » 12/03/2019, 19:21

Perfetto, si era esattamente quello che intendevo dire, grazie mille
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda fmnq » 13/03/2019, 01:24

Il motivo per cui riesci a rappresentare l'addizione di inversi così è segretamente che i campi che hai in mente sono tutti campi delle frazioni di anelli commutativi; la situazione è leggermente diversa quando consideri (ad esempio) estensioni algebriche di campi finiti.
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda alessiocarlini » 13/03/2019, 10:50

Nella mia esplorazione dei campi con un occhio particolare alla domanda "che me ne faccio?" .. Ero arrivato a dire che in un campo valgono le "normali" regole algebriche (Diciamo tutte quelle relative a +-×/) .. Fantastico pensando che il tutto può essere definite nel campo nei modi più disparati e su elementi più assurdi.

Ebbene no!!
Come minimo manca il fatto che
$a+a = 2a$

Ho visto poi che per avere anche questa possibilità di scrittura serve un operatore scalare esterno con le opportune proprietà di collegamento simili (identiche?) a quelle tra campo $(K,+,.)$ e gruppo abeliano $(V,+)$ nello spazio vettoriale, quindi distributiva rispetto a V e K, associativa mista ed unità comune.

La domanda è, ammesso che sia cosi, un campo scalare ed un campo generico legati cone sopra (Tipo spazio vrttoriale ma con V gruppo) è la struttura algebrica che "cerco"?
Dove l'algebra studiata alle superiori (Almeno sugli operatori definiti) è valida?

Scusate per la poca chiarezza, spero sia chiaro che si tratta di dare un "significato" intuitivo al gruppo.

Grazie
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda gugo82 » 13/03/2019, 11:43

Veramente, quella lì è valida... Ma perché è una definizione.
In generale, fissato $a in mathbb(K)$ si pone:
\[
\begin{cases}
1 a = a \\
(n+1) a = n a + a &\text{, per ogni } n \in \mathbb{N}
\end{cases} \; .
\]
Se vuoi, è la stessa cosa che fai con le potenze in notazione moltiplicativa.
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda fmnq » 13/03/2019, 11:46

Non è molto chiaro cosa stai chiedendo, ma ci sono delle cose sbagliate in quel che dici.

1. Che $a+a=2a$ è vero in ogni gruppo abeliano; questa semi-tautologia è quello che permette di caratterizzare i gruppi abeliani come tutti e soli i moduli su $ZZ$.
2. La categoria dei campi è un oggetto per certi versi bizzarro e per altri estremamente rigido: se i tuoi omomorfismi di anelli mandano 1 in 1 (come è ragionevole chiedere), allora un omomorfismo di anelli che sono campi deve essere per forza iniettivo, ossia -sebbene informalmente- "non appena esiste una mappa di campi $f : E\to F$, allora $E$ sta dentro $F$"
3. Quello che ho appena detto è a un passo dal dimostrare che nelle stesse notazioni, $F$ è uno spazio vettoriale su $E$; e se apri un libro di teoria dei campi, il "grado" di $F$ su $E$ è esattamente la dimensione di $F$ come $E$-spazio vettoriale.
3.1. Per esempio, $QQ$ è un sottocampo di $RR$, ed $RR$ è un $QQ$-spazio vettoriale di dimensione infinita; e $CC$ è un $RR$-spazio vettoriale di dimensione 2.
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda alessiocarlini » 13/03/2019, 14:35

Che tristezza, speravo di aver capito, ma allora da dove derivano tutte le proprietà dello scalare per l'elemento di $K$ che in generale potrebbe non avere un elemento $2$ e poi da dove deriva la legge di composizione esterna, come si fa a calcolare $2a$?

Insomma a me pare che formalmente un campo non possa supportare
$a+a=2a$
Serve dire altro .. No?

Mi pare che quel che dicevo andasse nella direzione giusta.
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