Re: Divisione in un campo

Messaggioda fmnq » 13/03/2019, 14:50

Quello che stai definendo, formalmente, è un omomorfismo di anelli $\rho : ZZ\to \text{End}(K)$, che manda $n$ nella mappa che manda $a$ in \(a+a+\dots+a\), dove la somma è fatta $n$ volte.

Quando scrivi $na$, per $(n,a)\in ZZ\times K$, quello che intendi denotare è $\rho(n)(a)$.

Nota che non ho mai usato la locuzione "calcolare $2a$" o "supportare $a+a=2a$", che infatti non hanno senso.
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda Martino » 13/03/2019, 15:33

alessiocarlini ha scritto:$K$ che in generale potrebbe non avere un elemento $2$
Ogni campo ha l'elemento $2$, è definito dalla formula $2:=1+1$. Ogni campo ha l'elemento $3$, definito dalla formula $3:=1+1+1$. Eccetera.
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda fmnq » 13/03/2019, 15:39

Quello che forse trae in inganno OP è che nulla vieta che "2" sia solo un modo circonvoluto di scrivere "0".
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda gugo82 » 13/03/2019, 15:53

Perché un campo "formalmente non può supportare" $a+a=2a$?
Non ti basta definire $2:=1_(mathbb(K))+1_(mathbb(K))$?
In altre parole, perché $2$ dovrebbe denotare necessariamente il numero naturale "due" e non qualcos'altro?1

Note

  1. Che, poi, il qualcos'altro sia proprio il "due" cui sei abituato (a meno di qualche isomorfismo) te l'ha spiegato k_b... Ops, volevo dire fmnq.
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda Martino » 13/03/2019, 16:15

Ecco la dimostrazione formale che $a+a=2a$ per ogni $a in K$ (dove $2$ è definito dalla formula $2=1+1$): per la proprietà distributiva

$a+a = 1*a+1*a = (1+1)*a = 2a$.
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda alessiocarlini » 14/03/2019, 10:16

Grazie a tutti, credo di esserci.
Quello che cercavo era poco definito :-) da una parte volevo che nel campo fosse possibile fare
$a+a=2a$
ma immaginavo che 2 dovesse essere uno scalare perché non vedevo che poteva essere (naturalmente) un elemento del campo stesso, come mi avete mostrato.
Ok, le due vie non necessariamente combaciano, ma questo è ovvio.

Oky, di nuovo grazie
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda fmnq » 14/03/2019, 11:04

alessiocarlini ha scritto:Quello che cercavo era poco definito :-) da una parte volevo che nel campo fosse possibile fare
$a+a=2a$
ma immaginavo che 2 dovesse essere uno scalare

E' possibile, infatti, e ti abbiamo come si fa.
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda alessiocarlini » 15/03/2019, 09:05

Mi spiace Fmnq ma i tuoi interventi non li ho capiti, troppo avanzati per me .. Continuo a studiare e spero di arrivarci, insomma, come tirar fuori uno scalare da un generico campo senza aggiungere altro .. Per me é magia ;-)
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda fmnq » 15/03/2019, 10:20

alessiocarlini ha scritto:Mi spiace Fmnq ma i tuoi interventi non li ho capiti, troppo avanzati per me .. Continuo a studiare e spero di arrivarci, insomma, come tirar fuori uno scalare da un generico campo senza aggiungere altro .. Per me é magia ;-)

A parte che questa cosa sarebbe possibilissima, e l'unico problema è che non ti è chiaro come si fa, non devi "tirare fuori uno scalare"; formalmente devi solo definire un'azione di $ZZ$ su $K$; ti ho spiegato come si fa: ogni gruppo abeliano $G$ è in maniera naturale dotato di una tale azione, ponendo $\lambda : ZZ\times G \to G$ uguale a \((n,g)\mapsto g+g+\dots+g\), dove la somma è fatta $n$ volte. Questo elemento è esattamente "$ng$", ma in questa scrittura $n$ non è un elemento di $K$, è semplicemente un modo di denotare l'endomorfismo $\lambda(n,-) : G\to G$.

Se non capisci qualcosa, chiedilo pure, ma la magia nera è da un'altra parte, non qui.
fmnq
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Re: Divisione in un campo

Messaggioda alessiocarlini » 15/03/2019, 10:53

Oky, se la via di cui parli è aggiungere un insieme scalare ed una legge di composizione esterna .. Allora eravamo già daccordo, dal tono sembravi smentirmi.
Meglio cosi
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