da Lavino » 19/03/2019, 09:51
Grazie comunque per l'interessamento!
In attesa che altri dicano la loro voglio condividere quanto ho escogitato in proprio. Magari qualcuno può suggerire qualche correzione.
Essendo noto che l'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss
$ T_n = (n(n+1))/2 $
ho posto la seguente condizione:
$ (a(a+1))/2 + (b(b+1))/2 = (c(c+1))/2 $
portando a secondo membro una delle due frazioni e moltiplicando tutto per 2 si ottiene:
$ a(a+1) = c^2 – b^2 + c – b $
e quindi
$ a(a+1) = (c-b) (c+b+1)$
ora, ragionando similmente a come Diophanto fa per le terne pitagoriche, ho posto i due fattori del prodotto al secondo membro, il primo = q e il secondo =2p e ho ottenuto queste
$ c = (2p + q – 1)/2 $
$ b = (2p – q – 1)/2 $
che hanno soluzioni intere con q dispari e $2p > q + 1$ e p e q divisori non necessariamente primi.
Se conosciamo la scomposizione in fattori di un numero triangolare possiamo calcolare con il prodotto di 2 suoi divisori tutte le terne che lo contengono come addendo. Ad esempio
$ T_14 = 105 = 3*5*7 $
prodotti di 2 divisori:
$ (3) * (5*7) $
$ (5) * (3*7) $
$ (7) * (3*5) $
$ (1) * (3*5*7) $
otteniamo $(105 + 561 = 666)$, $(105 + 171 = 276)$, $(105 + 66 = 171)$, $(105 + 5460 = 5565)$
Il guaio di questa procedura però è che bisogna conoscere la scomposizione in fattori.