Domanda di Logica

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Quindi il secondo modello rende falso il terzo assioma perché esiste un $x\ne0$ che non è successore di nessun elemento appartenente al modello, cioè $a_0$?

Esatto.

La risposta di Lolli alla mia e-mail...

Gentile, ha risposto subito e di domenica! Il "A mathematical introduction to logic" lo trovi sul mulo Il problema è che ora, indicandomi la fonte, mi hai fatto finire il divertimento Forse è meglio, così mi metto a studiare Fisica...

[TomSawyer]

Quindi il secondo modello rende falso il terzo assioma perché esiste un $x\ne0$ che non è successore di nessun elemento appartenente al modello, cioè $a_0$?

Esatto.

E servivano necessariamente anche i $a_1,a_2,a_3...$? Cioè si può solo duplicare il modello, in qualche modo?

La risposta di Lolli alla mia e-mail...

Gentile, ha risposto subito e di domenica! Il "A mathematical introduction to logic" lo trovi sul mulo Il problema è che ora, indicandomi la fonte, mi hai fatto finire il divertimento Forse è meglio, così mi metto a studiare Fisica...

Sì, era molto stuzzicante l'idea di fare una cosa simile anche per la relazione d'ordine. Comunque, $\exists x S^{(x)}=z$ definisce di nuovo i pari, vero?

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E servivano necessariamente anche i $a_1,a_2,a_3...$? Cioè si può solo duplicare il modello, in qualche modo?

Sì, perché è richiesto implicitamente che ogni elemento abbia un successore e inoltre il secondo assioma impone che la funzione successore sia iniettiva. Nel momento in cui esiste un elemento $a_0$ devono esistere $a_1,a_2,....$ e così via. Se si nega il terzo assioma di fatto il modello risultante sarà composto da un certo numero di "copie" di $NN$.


Se vuoi un altro problema elementare e stuzzicante, dimostra che l'addizione su $NN$ è definibile solo con la funzione successore e la moltiplicazione. In particolare, esiste un formula senza quantificatori $F(x,y,z)$, contenente i soli simboli $x,y,z,0,S,\cdot,=$ tale che

$x+y=z$ sse $F(x,y,z)$

Ad esempio, ovviamente $x+x=z$ sse $S(S(0))\cdot x=z$

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Comunque, $\exists x S^{(x)}=z$ definisce di nuovo i pari, vero?

A parte l'errore di battitura, non puoi definire insiemi infiniti e coinfiniti nella teoria del successore. Quindi non capisco che vuoi dire.