$4^x+4^y+4^z$

[elgiovo]

Trovare tutte le terne di interi $(x,y,z)$ tali che $4^x+4^y+4^z$ è un quadrato perfetto.

[exodd]

$4^x+4^y+4^z=k^2$ coimplica che
$1+4^(y-x)+4^(z-x)=w^2$
per provarlo basta dimostrare che$radq(1+4^(y-x)+4^(z-x))$ sia intero
(radq è la radice quadrata)
adesso, non so se il mio ragionamento è giusto, ma ho provato a ricondurre $1+4^(y-x)+4^(z-x)$ a $(n+1)^2$
e quindi a $n^2+2n+1$
mettendo $n^2=4^(z-x)$
allora $2n=2*radq(4^(z-x))=2*2^(z-x)$
ma visto che $2n=4^(y-x)$
allora $4^(y-x)=2*2^(z-x)$
$2^(2(y-x))=2^(z-x+1)$
da cui
$2(y-x)=z-x+1$
$2y-2x=z-x+1$
$2y-x=z+1$
$2y-x-z=1$
da cui si deduce che le terne x,y,z sono infinite

N.B. non so se è giusto il procedimento, ma provando l'ultima formula ottenuta, mi da sempre risultati corretti