Dimostrare che $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$

Messaggioda Fra27 » 11/04/2019, 18:22

Buonasera a tutti, ho bisogno di dimostrare questa uguaglianza, per poter dire che l'estensione $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$ ha grado 8 su $\mathbb{Q}$.
"$\supseteq$" è ovvia, poiché $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$.
Non riesco però a dimostrare "$\subseteq$", senza usare Galois. Qualcuno può aiutarmi? Grazie!!
Fra27
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Re: Dimostrare che $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$

Messaggioda dan95 » 12/04/2019, 18:31

Allora...

Dimostra che $\mathbb{Q}(\sqrt(2),\sqrt(3))=\mathbb{Q}(\sqrt(3)+\sqrt(2))$

Fatto ciò puoi dire che $\mathbb{Q}(\sqrt(2),\sqrt(3),\sqrt(5))=\mathbb{Q}(\sqrt(3)+\sqrt(2),\sqrt(5))$

Quindi la tesi equivale a dimostrare che $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ e $\sqrt{5}$ hanno grado 2 su $\mathbb{Q}(\sqrt(2)+\sqrt(3))$
Ultima modifica di dan95 il 17/04/2019, 15:37, modificato 1 volta in totale.
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Messaggioda j18eos » 16/04/2019, 18:13

@dan95 Forse c'è un typo? :wink:
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Semplicemente Armando. ;)
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Re: Dimostrare che $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$

Messaggioda dan95 » 17/04/2019, 15:37

Editato
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