teoria dei gruppi (rappresentazioni)

Messaggioda Boomerang » 14/04/2019, 14:59

Salve a tutti,
per il mio corso di fisica nucleare e subnucleare si richiedono nozioni della teoria dei gruppi.
L'argomento mi risulta un pò difficile da digerire, soprattutto nella parte in cui si parla di matrici e rappresentazioni.
Vi espongo allora quali sono i nodi che non riesco a sciogliere.
Dopo aver esposto tutte le conseguenze che discendono dalla definizione di gruppo $G:={g_1,...,g_n$, nonché il suo naturale isomorfismo (rispetto alla operazione $circ$ ) con il gruppo simmetrico delle permutazioni, e i teoremi insiemistici che ne conseguono, si parte alla scoperta dei legami (tramite gli omomorfismi: $g in G mapsto U(g) in Hom(V,V), Vin RR^n$ ) con i gruppi delle applicazioni lineari e quindi delle matrici ad esse associate; si noterà infatti che anche questi insiemi preservano l'operazione di $G$ per composizione.
Si introducono le seguenti definizioni e teoremi:
DEF) (rappresentazioni equivalenti) Due rappresentazioni di un gruppo $G$ legati da una trasformazione di similitudine: $U'(g)=AU(g)A^-1$, $U(g),U'(g) in U(G)$ si dicono equivalenti.
DEF)(sottospazi invarianti) Sia U(G) una rappresentazione di $G$ sullo spazio vettoriale $V$, e sia$V_1$ un sottospazio di quest'ultimo con la proprietà che$U(g)|vec(x)> in V_1$ per ogni $vec(x) in V_1$ e $g in G$. Si dice allora che $V_1$ è un sottospazio invariante di $V$ rispetto a $U(G)$. Un sottospazio invariante è minimale o proprio se contiene solo sottospazio invarianti banali: quello nullo o $V$ stesso.
DEF)(rappresentazione irriducibile) Una rappresentazione di $U(G)$ su $V$ (spazio vettoriale) si dice irriducibile se non esistono sottospazi invarianti (oltre quello banale / minimale) rispetto a $U(G)$; altrimenti la rappresentazione è riducibile. In quest'ultimo caso , se il complemento ortogonale di un sottospazio invariante è anch'esso invariante allora contiene sottospazi invarianti non banali e la rappresentazione si dice:decomponibile o completamente riducibile.
Domanda) se non vado errato si sta sostanzialmente dicendo che le rappresentazioni irriducibili sono:
-o quelle che sono irriducibili in quanto agenti sul solo sottospazio banale $V$, e cioè tutto lo spazio ( compreso il sottospazio nullo)
-o quelle che agiscono su sottospazi invarianti non banali e che non possono essere ulteriormente ridotte.
(?)
Inoltre mi sembra di capire che le rappresentazioni (banalmente) irriducibili sono sostanzialmente quelle applicazioni la cui immagine su determinati vettori del dominio, fissata un'unica base sia per dominio che codominio, $es: T_(g) circ (vec(e)_i)$ necessita dello span di tutti i sottospazi generati dai singoli vettori base: $T_(g) circ (vec(e)_i)=span{vec(e)_1,...,vec(e)_n}$. Quelle riducibili invece sono quelle applicazioni per cui esiste una determinata base rispetto alla quale l'azione di tutte le applicazioni: $U(g) in U(G)$ manda sottospazio del dominio nello stesso sottospazio del codominio.
Dette in parole povere le applicazioni riducibili sono quelle che non fanno variare la direzione del vettore su cui agiscono...
(?)

Chiusa questa parentesi:
DEF) (Rappresentazioni unitarie) se lo spazio delle rappresentazioni del gruppo è dotato di un prodotto interno e se gli operatori del gruppo $U(G)$ sono tutti unitari allora tale rappresentazione è detta unitaria.

TEO) Se una rappresentazione unitaria è riducibile allora è decomponibile.
TEO) Ogni rappresentazione $D(G)$ di un gruppo finito su uno spazio dotato di prodotto interno è equivalente ad una rappresentazione unitaria.

Domanda2) La dimostrazione del teorema si basa sulla ricerca di una matrice di cambiamento di base :$S$ ( non singolare e che permetta di passare da una base ortonormale ad una ortonormale) tale che $SD(g)S^(-1)=U(g)$ ove $U(g)$ è unitaria per ogni $g in G$. Vien detto che una tale $S$ può essere scelta in maniera che rispetti la seguente equazione: $(vec(x),vec(y))=<S*vec(x),Svec(y)> =sum_(ginG)<D(g)vec(x),D(g)vec(y)>$ ma sinceramente non riesco a dare una corretta interpretazione di quest'ultima... Cosa significa sommare gli elementi del gruppo? Significa sommare le matrici della rappresentazione o sommarli tramite somma diretta (anche se mi sembra poco plausibile che sia così)? Sono giorni che c sto sbattendo la testa... Vi pregherei , chi può, di darmi una delucidazione.
Domanda3) Perché si da così tanta importanza al fatto che lo spazio debba essere equipaggiato di prodotto interno? Forse per permettere che ci sia una base ortonormale?

Schur's Lemma1) Sia $U(G)$ una rappresentazione irriducibile di un gruppo $G$ sullo spazio vettoriale $V$ e sia $A$ un operatore arbitrario su $V$. Se $A$ commuta con tutti gli operatori $U(g),gin G$, i.e $AU(g)=U(g)A$ allora $A$ deve essere un multiplo dell'operatore identità:$A=lambda*E$ ove $lambda in CC$

TEO) Rappresentazioni irriducibili di ogni gruppo abeliano devono essere di dimensione 1.

Domanda 4) il gruppo $G_4$ è abeliano ( ma non ciclico). Non mi sembra però che abbia dimensione 1. Infatti le riflessioni rispetto agli assi non possono essere visti come rappresentazioni unidimensionali. Dove sbaglio nell'interpretazione?

Grazie per l'attenzione.
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Re: teoria dei gruppi (rappresentazioni)

Messaggioda fmnq » 16/04/2019, 00:02

se non vado errato si sta sostanzialmente dicendo che le rappresentazioni irriducibili sono

La definizione di irriducibile è che non esiste un sottospazio $G$-invariante intermedio tra $0$ e $V$ (che sono sempre $G$-invarianti, ovviamente). Il significato geometrico di questa proprietà dipende da $G$ e dalla "sede" della rappresentazione (dite così, "sede"?). Ed è ovvio che ne dipenda: uno stesso gruppo si rappresenta in maniera riducibile o irriducibile su spazi diversi. Grosso modo l'idea di fondo pertiene alla teoria dei moduli: in questo àmbito dell'algebra, è importante classificare gli oggetti semplici, cioè quelle strutture che non hanno sotto-strutture non banali. Le rappresentazioni di $G$ si chiamano "$G$-moduli", e una rappresentazione irriducibile è esattamente un $G$-modulo semplice nel senso del link precedente. Esercizio: su quale anello sono moduli le rappresentazioni di $G$?

Cosa significa sommare gli elementi del gruppo?

Stai sommando sugli elementi di $G$, non su $G$. Questa dimostrazione, che è iperclassica, è fatta nel Fulton-Harris o nel Serre; prova a guardare lì (fatto curioso: il Serre è un libro scritto per insegnare teoria dei gruppi ai chimici; ne è uscito un agile libro elementare di teoria della rappresentazione per matematici...)
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Re: teoria dei gruppi (rappresentazioni)

Messaggioda Boomerang » 16/04/2019, 08:44

Grazie Fmnq... la risposta alla tua domanda è sull’anello delle matrici.
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Re: teoria dei gruppi (rappresentazioni)

Messaggioda Boomerang » 16/04/2019, 10:26

Stai sommando sugli elementi di $G$, non su $G$.

Potresti spiegarmi meglio?
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Re: teoria dei gruppi (rappresentazioni)

Messaggioda Boomerang » 16/04/2019, 15:58

Credo di aver trovato degli ottimi riferimenti sul libro di S.Lang... qualcosa comincia a schiarirmisi. Non riuscivo ad interpretare bene quella sommatoria perché il mio libro sulla teoria dei gruppi non dice nulla su queste strutture algebriche di cui mi hai parlato e di cui in effetti non io mi ero mai preoccupato.
In ultima istanza la dimostrazione del teorema e, più precisamente, l’uso di quella sommatoria poggiano sul fatto che lo spazio delle matrici sia un anello e che la rappresentazione dei gruppi siano G-moduli sull’anello delle matrici?
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Re: teoria dei gruppi (rappresentazioni)

Messaggioda fmnq » 16/04/2019, 17:02

Boomerang ha scritto:Grazie Fmnq... la risposta alla tua domanda è sull’anello delle matrici.

Eh no: un modulo sull'anello delle matrici non è molto diverso da un modulo sull'anello (del resto dimostrare questo è il punto di partenza della teoria di Morita, quindi non è un fatto del tutto elementare)
Potresti spiegarmi meglio?

Ogni volta che $A$ è un insieme, la sommatoria \(\sum_{a\in A}f_a\) ha senso per ogni funzione $f : A\to S$, dove $S$ è un monoide commutativo ed $f$ è tale che $f(a)=0$ per quasi tutti gli $a\in A$. Nel tuo caso, $A=G$, $S$ è lo spazio vettoriale delle matrici, e $f : G\to S$ è la rappresentazione che manda $g\in G$ in $D(g)$.
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