Effettivamente \(\displaystyle G\) è un gruppo abeliano, ma il primo teorema di Sylow non ti assicura che esiste un sottogruppo \(\displaystyle H\) di ordine \(\displaystyle2^{n-1}\).
Di sicuro puoi assumere che esiste un sottogruppo \(\displaystyle H_1\) di ordine \(\displaystyle2\) (facile!), e per l'abelianità puoi considerare il gruppo quoziente \(\displaystyle G_{\displaystyle/H_1}\) di ordine \(\displaystyle2^{n-1}\), con \(\displaystyle n\geq3\)
1; per l'ipotesi induttiva \(\displaystyle G_{\displaystyle/H_1}\cong\left(\mathbb{Z}_2\right)^{n-1}\).
Alla stessa maniera, si può costruire un gruppo quoziente \(\displaystyle Q_2\) di \(\displaystyle\left(\mathbb{Z}_2\right)^{n-1}\) di ordine \(\displaystyle2^{n-2}\); quindi si ha il diagramma
\[
G\stackrel{\pi_1}{\to}G_{\displaystyle/H_1}\stackrel{\varpi_2}{\to}Q_2\to0,
\]
da cui \(\displaystyle\ker\left(\varpi_2\circ\pi_1\right)=H_2\) è un sottogruppo di \(\displaystyle G\) di ordine \(\displaystyle2^2\) contenente \(\displaystyle H_1\).
Ripetendo lo stesso ragionamento di prima, si ha il diagramma
\[
G\stackrel{\pi_2}{\to}G_{\displaystyle/H_2}\stackrel{\varpi_3}{\to}Q_3\to0,
\]
ove \(\displaystyle G_{\displaystyle/H_2}\cong\left(\mathbb{Z}_2\right)^{n-3}\) e \(\displaystyle Q_2\) ha ordine \(\displaystyle2^{n-3}\), da cui \(\displaystyle\ker\left(\varpi_3\circ\pi_2\right)=H_3\) è un sottogruppo di \(\displaystyle G\) di ordine \(\displaystyle2^3\) contenente \(\displaystyle H_2\).
Iterando questo ragionamento, si riesce a costruire un sottogruppo \(\displaystyle H_{n-1}\cong\left(\mathbb{Z}_2\right)^{n-1}\) di \(\displaystyle G\) avente ordine \(\displaystyle 2^{n-1}\); preso \(\displaystyle g\in G\setminus H_{n-1}\), si ha che:
- \(\displaystyle\langle g\rangle\cong\mathbb{Z}_2\),
- \(\displaystyle\langle g\rangle\cap H_{n-1}=\{e\}\),
- \(\displaystyle H_{n-1}\) e \(\displaystyle g\) generano \(\displaystyle G\),
per definizione \(\displaystyle G=\left(\mathbb{Z}_2\right)^{n-1}\oplus\langle g\rangle\cong\left(\mathbb{Z}_2\right)^n\).
Sono stato abbastanza chiaro?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Essendo da un bel po' che non scrivo di queste cose, non sono sicuro della mia chiarezza espositiva...
Ultima modifica di
j18eos il 19/04/2019, 09:24, modificato 2 volte in totale.