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Salve,

Prendiamo $K$ campo,
$\phi:K->K$ omomorfismo di anelli (con omomorfismo di anelli intendo anche $\phi(1)=1$). Vorrei dire che $\phi$ è automorfismo ma non mi riesce mostrare la surgettività.
Il fatto che sia iniettivo segue dal fatto che gli unici ideali di un campo sono quelli banali e quindi deve essere che $Ker(\phi)={0}$.
Nel caso in cui il campo si possa vedere come spazio vettoriale di dimensione finita su $\mathbb{Q}$ o su $\mathbb{F_p}$ direi che posso risolvere la cosa dicendo che l'omomorfismo di anelli induce un'applicazione lineare $K->K$ come spazi vettoriali, ed essendo questo un endomorfismo iniettivo di uno spazio vettoriale di dimensione finita deve essere anche surgettivo.
Però non so se si può generalizzare questo discorso perché non so lavorare con spazi vettoriali di dimensione infinita.

In generale, $\phi$ non e' un'automorfismo. Per esempio,
se $ZZ_p$ e' un campo di $p$ elementi, $F=ZZ_p(X)$
e $\phi$ e' dato da $\phi(g(X))=g(X^p)$.

Grazie Stickelberger,
Bell'esempio, peccato però, speravo fosse una cosa vera...

Una domanda:
Anche cose del tipo
$\phi : \mathbb{Q}(X)->\mathbb{Q}(X)$
$\phi(f(X))=f(X^2)$
Sono omomorfismi di anelli ma non automorfismi, giusto?
Cioè non è necessario che il "campo base" sia finito

Si, hai ragione