Sulla definizione di funtore

Messaggioda Indrjo Dedej » 24/04/2019, 10:34

Ciao :smile:
Sto facendo un po' di teoria delle categorie, e non riesco a comprender il ruolo di una parte nella definizione di funtore. I miei riferimenti per ora è Leinster. Riporto la definizione di funtore con la parte che mi interessa (la definizione completa è a pagina 17 del pdf):
Tom Leinster ha scritto:Let \(\mathcal A\) and \(\mathcal B\) categories. A functor \(F \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B\) consists of
[taglio un po di cose per arrivare dritto al punto]
satisfying the following axioms:
  • \(F(gf)=F(g)F(f)\) whenever in \(\mathcal A\)
    \xymatrix{
A \ar[r]^f & B \ar[r]^g & C
}
  • \(F(1_A)=1_{F(A)}\) whenever \(A \in \mathcal A\)

Qual è la necessità del secondo assioma? Non è sufficiente solo il primo? Intendo: preso un qualsiasi oggetto \(X\) della categoria \(\mathcal A\) si ha \[f=f1_X \quad \text{e} \quad 1_X g=g\] per ogni \(f \colon X \mapsto Y\) e \(g \colon Z \mapsto X\). Se \(F \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B \) è un funtore, allora
\begin{align*}
& F(f)=F(f)F(1_X) \quad\text{per ogni } f \colon X \mapsto Y\\
& F(g)=F(1_X)F(g) \quad \text{per ogni } g \colon Z \mapsto X\,.
\end{align*} Essendo già \(1_{F(X)}\) identità su \(F(X)\) in \(\mathcal B\) ed essendo unica, si ha \(F(1_X)=1_{F(X)}\).
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Re: Sulla definizione di funtore

Messaggioda Martino » 24/04/2019, 10:43

Stai dicendo che $h=hk$ implicherebbe $k=1$, perché?
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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Re: Sulla definizione di funtore

Messaggioda Indrjo Dedej » 24/04/2019, 11:03

Fissato un oggetto \(Y\) in \(\mathcal B\), si prova che l'identità su \(Y\) (che esiste) è unica. Prendendo \(Y=F(X)\), che \(F(1_X)\) è pure identità su \(Y\) e quindi \(1_{F(X)}=F(1_X)\). Io ho fatto questo ragionamento. Ma per questo ho chiesto, evidentemente mi sfugge qualcosa...
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Re: Sulla definizione di funtore

Messaggioda Indrjo Dedej » 24/04/2019, 11:25

Infatti sbaglio io a parlare. Scusate. Perché ho messo l'aggettivo "destra"? Scusa Martino.
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Re: Sulla definizione di funtore

Messaggioda fmnq » 24/04/2019, 11:41

Se per ogni h si ha che hk=1 e kh=1 allora k=1. Ma chi ti dice che F sia suriettivo sui morfismi, cioè che ogni h si scriva come F di qualche morfismo?

I funtori suriettivi sui morfismi si chiamano "full". Cerca la definizione sul Leinster!
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Re: Sulla definizione di funtore

Messaggioda Indrjo Dedej » 24/04/2019, 11:46

Sì, me ne sono accorto... Ho fatto una scemenza (da un collezione ho generalizzato ad una collezione più vasta... mi viene da piangere... :oops: ). Considerando l'"immagine" di \(\mathcal A\) mediante il funtore \(F\) la cosa funzionerebbe invece.
Comunque sia, ho carpito l'importanza di quel punto. Grazie.
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Messaggioda j18eos » 24/04/2019, 12:24

Giusto per scrivere tutto: un funtore "iniettivo" si dice fedele; e un funtore "biettivo" si dice pienamente fedele. ;)
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
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Re: Sulla definizione di funtore

Messaggioda Indrjo Dedej » 24/04/2019, 12:43

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Grazie, mi servono delle "traduzioni". Tra un testo in inglese e uno in tedesco, non ho nulla in italiano.
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