Proprietà universali dei gruppi quozienti

[3m0o]

Ho difficolta a capire un passaggio di questa dimostrazione
Sia \( G \) un gruppo e \( H \subset G \) un sottogruppo distinto, \( G' \) un altro gruppo. Esiste una biezione tra gli insiemi seguenti
1) L'insieme dei morfismi \( \phi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \)
2) L'insieme dei morfismi \( \phi_H : G/H \rightarrow G' \)
Questa biezione è data da \( \Psi : \phi_H \rightarrow \phi := \phi_H \circ \operatorname{red}_H \)

Dimostrazione:
Sia \( \phi_H \in \operatorname{Hom}(G/H,G') \) e sia \( \phi:= \Psi(\phi_H) \) definita da
\( \phi(g)=\phi_H(\operatorname{red}_H(g))=\phi_H(gH) \).

Siccome \( \phi \) è composta da due morfismi di gruppi è un morfismo di gruppi in più
\( \forall h \in H \), \( \phi(h) = \phi_H(H)=\phi_H(e_{G/H}H)=e_{G'} \) dunque \( H \subset \ker \phi \)
Per dimostrare che \( \Psi \) è biiettiva è sufficiente dimostrare che ammette un'applicazione inversa. Sia \( \Psi' \) l'applicazione che ad un morfismo \( \varphi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \) associa un applicazione \( \Psi'(\phi) : G/H \rightarrow G' \)
Definita da
\( \Psi'(\phi)(gH)=\varphi(g) \)

Verifichiamo che è ben definita: se \( gH=g'H \) allora \( \phi(g)=\phi(g') \). Che è il nostro caso visto che esiste \( h \in H \) tale che \( g'=gh \) e
\( \phi(g') = \phi (gh) = \phi(g) \phi(h) = \phi(g) \), visto che \( h \in \ker \phi \)
Inoltre \( \Psi '(\phi) \) è un morfismo di gruppi: \( \forall gH, g'H \in G/H \) abbiamo che
\( \Psi '(\phi)(gH \star g'H) = \Psi '(\phi)(gg'H) = \phi (gg') = \phi(g) \phi(g') = \Psi '(\phi)(gH)\Psi '(\phi)(g'H) \)
Le altre proprietà di un morfismo di gruppi di dimostrano nello stesso modo.

Resta a dimostrare che \( \Psi \circ \Psi ' \) e \( \Psi' \circ \Psi \) sono le applicazioni identita sui loro insiemi di partenza, questo dimostra che \( \Psi \) e \( \Psi' \) sono l'inversa l'una dell'altra e che i due insiemi sono in biezione.

Sia \( \phi_H: G/H \rightarrow G' \) e \( \phi = \Psi (\phi_H) \)
\( \forall gH \in G/H \), \( \Psi '(\Psi (\phi_H))(gH)=\phi(g) = \phi_H(gH) \), dunque
\( \Psi '(\Psi (\phi_H))=\phi_H \)
Sia \( \phi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \) e \( \phi_H = \Psi '(\phi) \)
\( \forall g \in G \), \( \Psi (\Psi '(\phi))(g) = \phi_H(gH)=\phi(g) \), dunque
\( \Psi (\Psi '(\phi)) = \phi \)

Ho difficoltà a capire come è costruita l'applicazione inversa
Allora ho che se \( \phi_H : G/H \rightarrow G' \) tale che \( \phi_H(gH)=\phi(g)=g' \in G' \)
\( \Psi(\phi_H) = \phi : G \rightarrow G' \),
Chiamo \( A \) l'insieme 1), e \( B \) l'insieme 2)
\( \Psi : B \rightarrow A \);
Dunque per costruzione \( \Psi(\phi_H) \) e \( \phi \) sono la stessa applicazione, è corretto?

L'inversa di \( \Psi \), denotata con \( \Psi' : A \rightarrow B \)
quindi preso un \( \phi : G \rightarrow G' \) deve associarli un \( \phi_H : G/H \rightarrow G' \)
Ovvero \( \Psi '( \phi) : G/H \rightarrow G' \) e \( \phi_H \) sono la stessa applicazione.

Lui la definisce così
Sia \( \varphi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \) gli è associto \( \Psi'(\phi) : G/H \rightarrow G' \)
Definita da
\( \Psi'(\phi)(gH)=\varphi(g) \)
Sono dunque un po' confuso da questa definizione. Premessa credo lui abbia fatto un errore e con \( \varphi \) volesse scrivere \( \phi \), dunque in tal caso la costruzione dell'inversa diviene
Sia \( \phi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \) gli è associto \( \Psi'(\phi) : G/H \rightarrow G' \)
Definita da
\( \Psi'(\phi)(gH)=\phi(g)=\phi_H(gH) \), quindi effettivamente \( \Psi'(\phi) \) e \( \phi_H \) sono la medesima applicazione
Ma la cosa che mi lascia più perplesso è questa
\( \Psi(\phi_H) (g) = \phi(g) =\phi_H(gH) = \Psi' (\phi)(gH) \), come è possibile che \( \Psi(\phi_H) \) e \( \Psi' (\phi) \) siano uguali?

[Indrjo Dedej]

Prima domanda) Sì, sta scritto all'inizio della dimostrazione che ti ritrovi.
Seconda domanda) Oltre alla piccola svista, non c'è scritto che sono uguali , leggi bene.
Sono d'accordo con te che è una dimostrazione lunga, inutilmente arzigogola e brutta.

[fmnq]

Una dimostrazione più elegante è questa.

Il morfismo canonico che chiami "red" induce per funtorialità di \(\hom(-,G')\) una funzione \(\hom(G/H, G')\to \hom(G,G')\); questa funzione è iniettiva, e la sua immagine coincide esattamente con quegli \(f : G\to G'\) il cui ker contiene $H$. QED.

[Indrjo Dedej]

Devi conoscere lo stesso però che esiste ed è unico un morfismo in \(\mathbf{Grp}\) per il quale \(f=\phi\circ\text{red}_H\) o no? Altrimenti, non fai nulla, hai solo riscritto in maniera più sintetica tutti quei salti mortali. O mi sono perso qualcosa?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

OT, ma mica tanto... Vediamo se ho capito cos'hai fatto. Siamo in \(\mathbf{Grp}\) e il funtore in questione è \(\hom(-,G') \colon \mathbf{Grp} \mapsto \mathbf{Grp}\) che manda i morfismi \(\phi \colon G/H \mapsto G'\), con \(H\subseteq\ker\phi\), ai morfismi \(G \mapsto G'\).

[dissonance]

Altrimenti, non fai nulla, hai solo riscritto in maniera più sintetica tutti quei salti mortali.

Anche a me sembra che sia così. Puzza terribilmente di ragionamento circolare: questa misteriosa "funtorialità di hom" mi pare sia esattamente la cosa che bisogna dimostrare.

Inoltre, ricordo che 3m0o è uno studente del primo anno, anche se in una università di alto livello. Una risposta del genere non è adeguata al suo contesto.

[fmnq]

questa misteriosa "funtorialità di hom"

Ma sei serio? \(\hom(-,G')\) è una corrispondenza funtoriale a prescindere dalla proprietà universale di un gruppo quoziente (e ci mancherebbe: cosa c'entra una cosa con l'altra?).

è uno studente del primo anno

E Indrjo uno dello zeresimo, eppure sta studiando (e ha capito di teoria delle categorie più di te, se la funtorialità ti sembra un mistero...). Potrei risponderti molte cose, tipo che la teoria delle categorie si può insegnare benissimo a un liceale, vedi qui, che sei semplicemente limitato da un pregiudizio, e dall'aver studiato altro -tiro ad indovinare, magari sbaglio: in Italia, giusto? Che è come a dire, esponendosi al pregiudizio peggiore e più provinciale possibile rispetto alla Matematica strutturale; che non finirò mai di stupirmi di quanto si possa venire limitati da queste due cose (la funtorialità un mistero; come a dire che l'olomorfia di \(\exp z\) è un arcano; è una posizione disinformata, faziosa, ridicola, generata dal semplice fatto che non hai mai avuto l'opportunità di aprire un libro che parli di queste cose e capire quanto siano elementari); potrei dirti che non sto parlando all'OP (né ora sto rispondendo a te, che forse non vuoi ascoltare).

Mi limito a farti notare¹ che il fatto stesso che la consegna parli di "proprietà universale" implica che OP ha le conoscenze adatte ad affrontare la dimostrazione esattamente per come è scritta. Io ho solo wrappato la dimostrazione in un linguaggio più ad alto livello, perché faccio questa cosa da 11 anni più di entrambi voi, e sono più padrone della sintassi. L'argomento, l'idea della dimostrazione, è immutata nella mia risposta e nella sua.

Ora, veniamo a noi:

Devi conoscere lo stesso però che esiste ed è unico un morfismo in \(\mathbf{Grp}\) per il quale \(f=\phi\circ\text{red}_H\) o no?

Questo va ancora dimostrato; la dimostrazione rapida è quella che caratterizza \(\hom(G/H,G')\) mediante \(\hom_{\subseteq H}(G,G')\). Io ti ho solo mostrato che la funzione che realizza questa biiezione sulla sua immagine è esattamente la precomposizione con \(red_H\) mostrandoti che non si tratta di una funzione a caso, ma che sai già come è definita elemento per elemento. Il che è un argomento che vale in generale, e che quindi ti può essere utile per non dimostrare mai più la stessa cosa: quando \(\{X_i \to \varinjlim X_i\}\) è un diagramma colimite, \(\hom(-, G')\) porta questo diagramma in un diagramma limite \(\hom(\varinjlim X_i, G')\cong \varprojlim \hom(X_i, G')\)

Torno a onorare i misteri. Divertitevi.

---

Note

1. (un'altra volta rispondo semplicemente "no, non è un argomento circolare" e se vuoi capire perché ti arrangi; madonna la petulanza di questo tuo commento, mi fumano le mani) ↑

[3m0o]

Prima domanda) Sì, sta scritto all'inizio della dimostrazione che ti ritrovi.
Seconda domanda) Oltre alla piccola svista, non c'è scritto che sono uguali , leggi bene.
Sono d'accordo con te che è una dimostrazione lunga, inutilmente arzigogola e brutta.

Grazie, si ho letto male \( \Psi'(\phi): G/H \rightarrow G' \), mentre \( \Psi(\phi_H) : G \rightarrow G' \)

Una dimostrazione più elegante è questa.

Il morfismo canonico che chiami "red" induce per funtorialità di \( \hom(-,G') \) una funzione \( \hom(G/H, G')\to \hom(G,G') \); questa funzione è iniettiva, e la sua immagine coincide esattamente con quegli \( f : G\to G' \) il cui ker contiene $ H $. QED.

Non metto in dubbio che sia più elegante, ma non ci ho capito una mazza

(...) il fatto stesso che la consegna parli di "proprietà universale" implica che OP ha le conoscenze adatte ad affrontare la dimostrazione esattamente per come è scritta. Io ho solo wrappato la dimostrazione in un linguaggio più ad alto livello (...)

Si mi sono richieste senz'altro le conoscenze per affrontare la dimostrazione per come è proposta, anche perché era un esercizio e quella era la soluzione, faccio solo notare che se non mi era già chiara quella, forse non è un idea geniale utilizzare un linguaggio più ad alto livello, proprio appunto te ci sei dentro in queste cose da più di 11 anni io da poco più di 6 mesi. Tutto qui.
Grazie mille a tutti per i chiarimenti comunque.

[fmnq]

Non metto in dubbio che sia più elegante, ma non ci ho capito una mazza

Questo mi è evidente, e del resto il punto è proprio farti domandare "cosa c'è scritto?" e farti trovare (magari da solo, in un guizzo di intraprendenza: io ho iniziato proprio essendo esposto, mio malgrado, a questo genere di violenza a fin di bene) la definizione di funtore e la proprietà che ogni funzione $f : A\to B$ induce una funzione \(\hom(B,X) \to \hom(A,X)\) ottenuta per precomposizione -cioè la funzione $u : B\to X$ viene mandata in $u \circ f$. Con questa, la dimostrazione consta dello stesso numero di passi, ma la serie di operazioni che devi eseguire è evidente: la nozione di proprietà universale si basa sull'idea che esiste un unico modo di dare la definizione che devi, affinché la proprietà sia vera.

In questa fattispecie, la proprietà universale di \(G/H\) equivale ad affermare che \(\hom(G/H,G')\) sia un certo sottoinsieme di \(\hom(G, G')\); io ti ho detto quale, riempire i dettagli = fare la dimostrazione che chiedi.

faccio solo notare che se non mi era già chiara quella, forse non è un idea geniale utilizzare un linguaggio più ad alto livello

Questo è un fatto controintuitivo in cui cadono tutti i principianti, pensando che l'astrazione sia una complicazione. Il linguaggio di alto livello ha invece esattamente lo scopo di evitare di perdersi in piccinerie. Esiste la possibilità che la dimostrazione iniziale non ti sia chiara perché, lunga e verbosa com'è, ha offuscato l'evidenza della proprietà universale che vai cercando.

[dissonance]

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@3m0o:

non è un idea geniale utilizzare un linguaggio più ad alto livello

Io, che sono un provinciale, secondo la definizione di fmnq, sono d'accordo con questo tuo commento. Se ti interessa, ho iniziato gli studi in Italia ma li ho finiti altrove. Non credo c'entri nulla, ma era per rispondere a fmnq.

[fmnq]

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le tue idee sono disinformate e provinciali, ignori qualcosa che accusi di circolarità e lo sminuisci. Lo facessi sapendo di cosa parli, almeno!

Se poi ti sembra un argomento ad personam il mio, quando non ho mai proferito verbo su di te, questo non fa che confermare la mia opinione sulla situazione.

Il mio consiglio per te è di aprire un libro che contenga la definizione di funtore, dimostrare che \(\hom(-,G')\) è un funtore \({\cal C} \to \bf Set\), tornare qui. Poi parliamo di quanto questo ti sia sembrato un "mistero".

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Cosa penseresti tu di me se ti dicessi, per esempio, che il fatto che \(\sum \frac{1}{n}\) diverge mi sembra un fatto magico e sospetto? Cosa penseresti che ho capito della Matematica che ho studiato?