Ho difficolta a capire un passaggio di questa dimostrazione
Sia \( G \) un gruppo e \( H \subset G \) un sottogruppo distinto, \( G' \) un altro gruppo. Esiste una biezione tra gli insiemi seguenti
1) L'insieme dei morfismi \( \phi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \)
2) L'insieme dei morfismi \( \phi_H : G/H \rightarrow G' \)
Questa biezione è data da \( \Psi : \phi_H \rightarrow \phi := \phi_H \circ \operatorname{red}_H \)
Dimostrazione:
Sia \( \phi_H \in \operatorname{Hom}(G/H,G') \) e sia \( \phi:= \Psi(\phi_H) \) definita da
\( \phi(g)=\phi_H(\operatorname{red}_H(g))=\phi_H(gH) \).
Siccome \( \phi \) è composta da due morfismi di gruppi è un morfismo di gruppi in più
\( \forall h \in H \), \( \phi(h) = \phi_H(H)=\phi_H(e_{G/H}H)=e_{G'} \) dunque \( H \subset \ker \phi \)
Per dimostrare che \( \Psi \) è biiettiva è sufficiente dimostrare che ammette un'applicazione inversa. Sia \( \Psi' \) l'applicazione che ad un morfismo \( \varphi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \) associa un applicazione \( \Psi'(\phi) : G/H \rightarrow G' \)
Definita da
\( \Psi'(\phi)(gH)=\varphi(g) \)
Verifichiamo che è ben definita: se \( gH=g'H \) allora \( \phi(g)=\phi(g') \). Che è il nostro caso visto che esiste \( h \in H \) tale che \( g'=gh \) e
\( \phi(g') = \phi (gh) = \phi(g) \phi(h) = \phi(g) \), visto che \( h \in \ker \phi \)
Inoltre \( \Psi '(\phi) \) è un morfismo di gruppi: \( \forall gH, g'H \in G/H \) abbiamo che
\( \Psi '(\phi)(gH \star g'H) = \Psi '(\phi)(gg'H) = \phi (gg') = \phi(g) \phi(g') = \Psi '(\phi)(gH)\Psi '(\phi)(g'H) \)
Le altre proprietà di un morfismo di gruppi di dimostrano nello stesso modo.
Resta a dimostrare che \( \Psi \circ \Psi ' \) e \( \Psi' \circ \Psi \) sono le applicazioni identita sui loro insiemi di partenza, questo dimostra che \( \Psi \) e \( \Psi' \) sono l'inversa l'una dell'altra e che i due insiemi sono in biezione.
Sia \( \phi_H: G/H \rightarrow G' \) e \( \phi = \Psi (\phi_H) \)
\( \forall gH \in G/H \), \( \Psi '(\Psi (\phi_H))(gH)=\phi(g) = \phi_H(gH) \), dunque
\( \Psi '(\Psi (\phi_H))=\phi_H \)
Sia \( \phi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \) e \( \phi_H = \Psi '(\phi) \)
\( \forall g \in G \), \( \Psi (\Psi '(\phi))(g) = \phi_H(gH)=\phi(g) \), dunque
\( \Psi (\Psi '(\phi)) = \phi \)
Ho difficoltà a capire come è costruita l'applicazione inversa
Allora ho che se \( \phi_H : G/H \rightarrow G' \) tale che \( \phi_H(gH)=\phi(g)=g' \in G' \)
\( \Psi(\phi_H) = \phi : G \rightarrow G' \),
Chiamo \( A \) l'insieme 1), e \( B \) l'insieme 2)
\( \Psi : B \rightarrow A \);
Dunque per costruzione \( \Psi(\phi_H) \) e \( \phi \) sono la stessa applicazione, è corretto?
L'inversa di \( \Psi \), denotata con \( \Psi' : A \rightarrow B \)
quindi preso un \( \phi : G \rightarrow G' \) deve associarli un \( \phi_H : G/H \rightarrow G' \)
Ovvero \( \Psi '( \phi) : G/H \rightarrow G' \) e \( \phi_H \) sono la stessa applicazione.
Lui la definisce così
Sia \( \varphi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \) gli è associto \( \Psi'(\phi) : G/H \rightarrow G' \)
Definita da
\( \Psi'(\phi)(gH)=\varphi(g) \)
Sono dunque un po' confuso da questa definizione. Premessa credo lui abbia fatto un errore e con \( \varphi \) volesse scrivere \( \phi \), dunque in tal caso la costruzione dell'inversa diviene
Sia \( \phi : G \rightarrow G' \) tale che \( H \subset \ker \phi \) gli è associto \( \Psi'(\phi) : G/H \rightarrow G' \)
Definita da
\( \Psi'(\phi)(gH)=\phi(g)=\phi_H(gH) \), quindi effettivamente \( \Psi'(\phi) \) e \( \phi_H \) sono la medesima applicazione
Ma la cosa che mi lascia più perplesso è questa
\( \Psi(\phi_H) (g) = \phi(g) =\phi_H(gH) = \Psi' (\phi)(gH) \), come è possibile che \( \Psi(\phi_H) \) e \( \Psi' (\phi) \) siano uguali?