se la famiglia ha tre elementi (j vale 1,2,3) , prendo l'elemento x = ( 3,4,5)
Ma questi monoidi chi sono? Per caso nella tua testa sono tutti e tre copie del monoide \((\mathbb N,+)\) dei numeri naturali?
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"il sapere occulto non è terreno riservato solo ai grandi ingegni o ad individui eccezionali cui è destinato per elezione divina. tutti ne possono godere, ed è giusto che ne godano, nella misura in cui lo sviluppo spirituale e la maturità intellettiva di ciascuno lo consentano." (
fonte)
Ti propongo, alla luce di questa citazione, di provare a dimostrare quanto segue per capire un po' meglio cosa sta succedendo (soprattutto, fai una domanda che merita una risposta:
Com'è possibile che tutti gli elementi \(\sigma_j \circ pi_j(x)\) abbiano tutte le componenti uguali a \(1\), tranne un numero finito di essi che ha invece una sola componente diversa da \(1\)?
L'oggetto che stai studiando si chiama "somma" o "coprodotto" dei monoidi \(M_i\) (diciamo che questa famiglia di oggetti è indicizzata da un insieme \(I\), finito o meno).
Il motivo per cui per definire \(\sum M_i\) ti serve prendere l'insieme delle tuple \((m_i) \in \prod M_i\) tali che \(m_i \neq 1_{M_i}\) solo per un numero finito di indici è che vuoi che questa somma abbia una proprietà universale?
Cos'è una proprietà universale (ho notato con rammarico c'è gente con un dottorato, qui dentro, che purtroppo lo ignora)
?Tecnicamente, una proprietà universale è una formula, in logica del second'ordine, che asserisce la presenza di un'unica funzione a fattorizzare una composizione di funzioni previamente date, le quali rispettano una serie di proprietà. Tu però ignora questa definizione, serve solo a rimediare il fatto che all'utente medio di questo forum manca cognizione di una struttura che è ubiquitaria alla pratica matematica nella sua totalità, trasversale ad algebra, geometria, logica, analisi, topologia...
In maniera più comprensibile per te, una proprietà universale è una formula del tipo "per ogni ACCA esiste un'unico KAPPA tale che ESSE", dove ACCA è un insieme che riceve una famiglia di funzioni \(f_i\), indicizzate da un insieme \(I\), KAPPA una funzione che ha l'insieme in ACCA per dominio o codominio, e ESSE è un'equazione che fattorizza le \(f_i\) mediante KAPPA.
Nella fattispecie di questo esempio, \(\sum M_i\) ha la seguente proprietà universale: per ogni
altro monoide \(\color{red}N\), e per ogni famiglia di omomorfismi \(\color{red}g_i : M_i\to N\), esiste uno e un solo
omomorfismo \(\sum M_i \to N\) tale che \(\color{green}\hat g\circ \sigma_i = g_i\).
Ho colorato di rosso ciò che in questo asserto è ACCA, di blu cià che è KAPPA e di verde ciò che è ESSE , per delineare con precisione chi è chi, nella proprietà universale di \(\sum M_i\).
Quello che succede ammette una rappresentazione grafica piuttosto efficace, in termini di "diagrammi di frecce"; i monoidi, in questo esempio, sono nodi di un grafo, e gli omomorfismi sono frecce che spiccano da un dominio e arrivano a un codominio; la composizione di funzioni ammonta alla scrittura di un cammino (con le regole della composizione funzionale) di estremi il dominio della funzione più a destra e codominio quello della funzione più a sinistra.
Con meno parole e più disegni, e nella notazione che stai utilizzando tu, quello che succede è questo:
dove la freccia è tratteggiata per sottolineare che l'esistenza di quella funzione va dimostrata, e i quantificatori ad apice sinistro indicano come va interpretata la presenza di quegli insiemi e funzioni: $N$ è scelto arbitrariamente nella classe dei monoidi, e $g_i$ è una qualsiasi funzione di dominio $M_i$ e codominio $N$. $\hat g$, che esiste unica,
è la stessa a prescindre dall'elemento $i\in I$.
Vediamo che in effetti la proprietà unviversale che ho scritto è soddisfatta: sia \(g_i : M_i\to N\) una famiglia di omomorfismi di monoidi; va definita una funzione \(\hat g : \sum M_i \to N\) che sia a sua volta un omomorfismo. Per farlo esiste un unico modo, considerando come hai definito \(\sum M_i\): stipuliamo che un suo elemento \((m_i)\) sia mappato nell'elemento \(\sum g_i(m_i)\) (sto segnando il monoide additivamente, sicché \(m_i = 0\) per quasi ogni \(i\in I\)). Questa è una funzione ben definita (perché appunto, questa somma è finita) e un omomorfismo (lo lascio dimostrare a te); in più, ha banalmente la proprietà che \(\hat g\circ \sigma_i = g_i\) (altra cosa che lascio dimostrare a te: è semplicemente "vero in base a come hai definito \(\hat g\)").
Ora, questa proprietà universale non è più vera se ammetti dentro \(\sum M_i\) elementi che non abbiano quasi tutte le componenti nulle.
A titolo di esempio, sia $I$ un insieme infinito (per esempio, numerabile), sia \(M_i = C_2\), (quindi \(M_i=M_j\) per ogni \(i,j\in I\)) dove \(C_2\) è il gruppo con due elementi \(\{1,a\}\) distinti, e \(a^2=1\). Sia \(N=C_2\), e considera la famiglia \(g_i : M_i\to N\) che componente per componente è l'identità di \(C_2\); assumi che esista una \(\hat g\) tale che \(\hat g\circ \sigma_i = g_i\). Che forma dovrebbe avere l'immagine dell'elemento costantemente uguale ad $a$, se tale elemento appartenesse a \(\sum M_i\)?