Teoria di galois ed risolubilita equazioni.

Messaggioda francicko » 09/05/2019, 22:44

Salve, sto cercando di capire un po, almeno per linee generali le idee di galois , che lo hanno portato alla elaborazione della famosa teoria, che prende il suo nome, non senza difficolta, per semplicita mi sono soffermato sull equazione di secondo grado $ x^2+bx+c=0$ con coefficienti in $Q$, e la sua nota formula risolutiva, quello che sono riuscito a dedurre, è che partendo dalla relazione lineare asimmetrica $(x_1-x_2)$, si vede che permutando le radici da origine a due valori differenti, elevando a potenza, in questo caso al quadrato, si riesce a raggiungere una relazione simmetrica, $(b^2-4c)$ cioe $(x_1-x_2)^2=(b^2-4c)$ ed invertendo il procedimento si ha anche $sqrt(b^2-4c)=(x_1-x_2)$, che altro non è , se non sbaglio , la risolvente di lagrange per l' equazione di secondo grado, mettendo a sistema le due relazioni lineari, rispettivamente quella asimmetrica $sqrt(b^2-4c)=(x_1-x_2)$ e quella simmetrica nota $(x_1-x_2)=b$, si arriva alla nota formula risolutiva, o come si dice, aggiungendo un radicale al campo $Q$ dei coefficienti si arriva al campo contenente le radici del polinomio.
Quindi tutto si riduce allo svolgimento di un sistema di equazioni lineari, in cui compare una relazione simmetrica data dal coefficiente in $x$, e da una relazione asimmetrica, pertanto il motivo per cui il procedimento ha successo , è dovuto essenzialmente ad una perdita di simmetria, da una relazione simmetrica dei coefficienti si arriva ad una completamente asimmetrica delle radici del polinomio,che nel caso dell' equazione di secondo grado si ottiene semplicemente aggiungendo un radicale.
Quello che vorrei capire , supponendo che le considerazioni fatte sopra siano esatte, se è possibile generalizzarle.
Nel caso di risposta affermativa, ad esempio nell'equazione di terzo grado, dovrei avere quindi un sistema di tre equazioni lineari, di cui una simmetrica nota(coefficiente in $x^2$) e due asimmetriche, visto che le relazioni simmetriche non servono al fine del calcolo delle radici;
Quattro nell'equazione generale di quarto grado , di cui tre asimmetriche, sino all' impossibilita almeno per quanto riguarda quella generale di grado $n>=5$, mi sbaglio?
Sono molto interessato all'argomento visto che in passato ho affrontato, anche se in maniera molto elementare, qualcosa della teoria dei gruppi,e visto anche che la loro formalizzazione come struttura astratta ha inizio proprio con tale teoria.
Grazie in anticipo per ogni vostra risposta e chiarimento!
Saluti!
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