Ideali Monomiali

Messaggioda jinsang » 12/05/2019, 18:48

Salve
Sono in cerca di aiuto per il seguente esercizio:

Sia $I\sube K[x_1,...,x_n]$ ideale monomiale. Dimostrare che $I$ è irriducibile se e solo se è m-irriducibile.

Di seguito le nozioni che tenevo presenti nel tentativo di risolvere l'esercizio:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Definizione (ideale irriducibile): $I$ irriducibile sse $I=I_1\nn I_2\rArr I=I_1 \vv I=I_2$.
Definizione (ideale monomiale): $I$ monomiale sse $\EE M\sube{monomi \in K[x_1,...,x_n]}$ tale che $ I=(M)$.
Definizione (ideale m-irriducibile): $I$ m-irriducibile sse dati $I_1,I_2$ monomiali $I=I_1\nn I_2\rArr I=I_1 \vv I=I_2$.
Risultato: $f\in I$ monomiale sse ogni suo monomio appartiene ad $I$.
Risultato: Se $I$ ideale è tale che ($f\in I\rArr$ ogni suo monomio appartiene a $I$) allora $I$ è monomiale.
Risultato (lemma di dickson): Ogni ideale monomiale è finitamente generato e un suo sistema minimale di generatori è sostanzialmente unico.


Ora la freccia ($\rArr$) è tranquilla (un ideale irriducibile è anche m-irriducibile).
Per l'altra non so come muovermi.
Grazie in anticipo.
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Re: Ideali Monomiali

Messaggioda Trilogy » 24/05/2019, 19:22

È già passato un po' di tempo, quindi forse una risposta l'hai trovata nel mentre. Ma comunque provo.

Supponi che $I$ sia un ideale monomiale e che sia m-irriducibile. Vogliamo dimostrare che $I$ è irriducibile. Siano $I_1$ e $I_2$ ideali tali che $I=I_1\cap I_2$, e quindi vogliamo dimostrare che $I=I_1$ oppure $I=I_2$.

Se $I_1$ e $I_2$ sono entrambi monomiali, abbiamo già finito. Supponiamo allora che $I_1$ non sia monomiale. Ci sarà quindi un polinomio $f\in I_1$ tale che i monomi nel suo supporto non sono tutti in $I$, altrimenti $f$ starebbe in $I$ (perché $I$ è monomiale). Non sono completamente sicuro di quello che sto scrivendo perché non ho neanche della carta con me adesso, ma prova a fare questo: aggiungi i monomi nel supporto di $f$ come generatori di un nuovo ideale $J_1$, che contiene $I_1$. Fai la stessa procedura con altri polinomi che potresti avere e con $I_2$, ottenendo due ideali $J_1$ e $J_2$ alla fine, che sperabilmente sono tali che $I=J_1\cap J_2$, e inoltre sono monomiali. Se siamo fortunati e una cosa del genere funziona, puoi usare la m-irriducibilità e dedurre che allora $I$ è uguale a uno di questi due, diciamo $J_1$. Ma allora $I$ è uguale a $I_1$.

Dici che funziona?
The road to wisdom? Well, it's plain and simple to express: err and err and err again, but less and less and less.
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Re: Ideali Monomiali

Messaggioda jinsang » 26/05/2019, 17:07

Ciao Trilogy!

Intanto grazie per la risposta, in effetti ho trovato soluzione al mio problema, ma è un po' tecnica e noiosa :(

In quanto alla strada che proponi, è un tentativo che ho già fatto ma purtroppo non mi è riuscito concludere.
Cioè io l'avevo messa così (mi sembra che coincida con quanto hai detto tu):

Supponiamo $I=I_1\nnI_2$
Considero
$J_1$={m monomi che compaiono in polinomi di $I_1$}
$J_2$={m monomi che compaiono in polinomi di $I_2$}
Ora se avessi $I=J_1\nnJ_2$ avrei concluso, ma questa cosa non mi riesce mostrarla, quindi ho infine abbandonato questa strada. Se però a te è riuscito dimostrare l'uguaglianza sarei curioso di vederla. (Io sono riuscito solo a dire $I\subsetJ_1\nnJ_2$)

Una cosa che potrebbe tornare utile a tal proposito (ma che io non sono riuscito a sfruttare) è la seguente:

$J_1=(m_1,...,m_h)$ $J_2=(n_1,...,n_k)$ ideali monomiali.
Allora $J_1\nnJ_2=(mcm(m_i,n_j)_(i=1,...,h; j=1,...,k) )$
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