Sono in cerca di aiuto per il seguente esercizio:
Sia $I\sube K[x_1,...,x_n]$ ideale monomiale. Dimostrare che $I$ è irriducibile se e solo se è m-irriducibile.
Di seguito le nozioni che tenevo presenti nel tentativo di risolvere l'esercizio:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Definizione (ideale irriducibile): $I$ irriducibile sse $I=I_1\nn I_2\rArr I=I_1 \vv I=I_2$.
Definizione (ideale monomiale): $I$ monomiale sse $\EE M\sube{monomi \in K[x_1,...,x_n]}$ tale che $ I=(M)$.
Definizione (ideale m-irriducibile): $I$ m-irriducibile sse dati $I_1,I_2$ monomiali $I=I_1\nn I_2\rArr I=I_1 \vv I=I_2$.
Risultato: $f\in I$ monomiale sse ogni suo monomio appartiene ad $I$.
Risultato: Se $I$ ideale è tale che ($f\in I\rArr$ ogni suo monomio appartiene a $I$) allora $I$ è monomiale.
Risultato (lemma di dickson): Ogni ideale monomiale è finitamente generato e un suo sistema minimale di generatori è sostanzialmente unico.
Definizione (ideale monomiale): $I$ monomiale sse $\EE M\sube{monomi \in K[x_1,...,x_n]}$ tale che $ I=(M)$.
Definizione (ideale m-irriducibile): $I$ m-irriducibile sse dati $I_1,I_2$ monomiali $I=I_1\nn I_2\rArr I=I_1 \vv I=I_2$.
Risultato: $f\in I$ monomiale sse ogni suo monomio appartiene ad $I$.
Risultato: Se $I$ ideale è tale che ($f\in I\rArr$ ogni suo monomio appartiene a $I$) allora $I$ è monomiale.
Risultato (lemma di dickson): Ogni ideale monomiale è finitamente generato e un suo sistema minimale di generatori è sostanzialmente unico.
Ora la freccia ($\rArr$) è tranquilla (un ideale irriducibile è anche m-irriducibile).
Per l'altra non so come muovermi.
Grazie in anticipo.