Delucidazioni sull'aritmetica finitaria come metateoria

Messaggioda astrifiammante » 23/05/2019, 08:51

Sono alle prime armi con i fondamenti della matematica. Sto cercando di saperne di più del metalinguaggio ed in particolar modo dell'aritmetica finitaria come linguaggio, per l'appunto, utilizzato per dimostrare i metateoremi di coerenza, completezza ecc. Allora, ho assodato che la sintassi del linguaggio col quale viene espressa una teoria matematica è costituito da:
a)un alfabeto: segni (senza significato) ,
b)un insieme di formule ben formate (frasi del linguaggio) date ricorsivamente, fra le quali vi sono gli assiomi (frasi di partenza sostanzialmente,
c)regole di deduzione dalle quali si ottengono i teoremi

Innanzitutto chiedo conferma di quanto segue: chiamiamolo punto 1:
Nel metalinguaggio che ci aiuta ad esprimere "qualcosa su il nostro sistema" entra inevitabilmente il concetto di numero naturale (ancor prima della costruzione dell'aritmetica come linguaggio oggetto). Le metadimostrazioni vanno fatte usando il metalinguaggio ovvero l'aritmetica finitaria (reale) che è costituita da quella parte dell'aritmetica ideale (con la quale si indaga sull'infinito) che non ha bisogno di dimostrazioni perchè evidente. Gli "elementi" di questa aritmetica sono i numerali, ovvero le successioni di "aste": I, II, III........Ad esempio per quanto riguarda la somma (la concatenazione) di due numerali II e III è ovvio che, usando i simboli dell'aritmetica ideale, 2+3 = 3+2 (IIIII=IIIII). Insomma nell'aritmetica finitaria non ci sono nè assiomi e ne dimostrazioni e teoremi. Se così si può dire le affermazioni vengono fatte con "esperimenti mentali". Così ad esempio 3>2 usando il confronto diretto fra III e II il primo sfora di "I" il secondo;

Poi non ho ben chiara una cosa: le dimostrazioni dei metateoremi vanno fatte nel metalinguaggio e non nel linguaggio oggetto NO? Se è corretta l'affermazione sopra del punto 1 le metadimostrazioni non dovrebbero esistere perchè sono fatti evidenti. Si dice che le metadimostrazioni devono essere finitamente provabili. Ora non ho preso in considerazione dimostrazioni di coerenza completezza ecc. ho guardato e cercato in linea di massima di vedere cosa c'è dietro la godelizzazione. Potreste, ad esempio, prendere ed espormi (come esempio) la prova della coerenza e completezza della logica proposizionale (lo so sono riportate in diversi siti e libri) commentandomela anche alla luce del punto 1? Lo so sono riportate in diversi siti e libri, ma quello che domando è cercare di capire passo a passo come deve essere data una prova di un metateorema (alla luce anche di quanto avevo affermato sopra:
le dimostrazioni dei metateoremi vanno fatte nel metalinguaggio e non nel linguaggio oggetto NO? Se è corretta l'affermazione sopra del punto 1 le metadimostrazioni non dovrebbero esistere perchè sono fatti evidenti
;

Terza domanda: visto che le formule ben formate vanno definite ricorsivamente, anche l'induzione fa parte dell'aritmetica finitaria: è corretto? Ossia l'induzione nell'ambito di quest'ultima in luce del punto 1 non ha bisogno di assiomi e nè del teorema di ricorsione giusto?
astrifiammante
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Re: Delucidazioni sull'aritmetica finitaria come metateoria

Messaggioda @melia » 23/05/2019, 18:20

Sposto il tuo intervento in Algebra, dove troverai sicuramente persone più adatte al tipo di quesito.
Sara Gobbato

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