07/06/2019, 07:57
08/06/2019, 02:34
Esatto, ma per esempio mi sai dire quanti elementi ha il gruppo di Galois di $X^5-2$?francicko ha scritto:Beh se considero i polinomi del tipo $x^n-a$ questi risultano ovviamente risolubili per radicali.
Scusa non capisco, facciamo così: fammi lo stesso esempio ma con i polinomi di grado $3$. Se hai $X^3+aX^2+bX+c$ come fai, col tuo metodo, a determinare il gruppo di Galois? Così capisco cosa intendi con la domanda "Per quanto riguarda la domanda sulle relazioni delle radici a valori in $Q$, che vengono lasciate invariate dalle permutazioni delle stesse, queste non formano un gruppo?" che davvero non riesco a interpretare.Per quanto riguarda la domanda sulle relazioni delle radici a valori in $Q$, che vengono lasciate invariate dalle permutazioni delle stesse, queste non formano un gruppo? Ed non è questo il gruppo di Galois?
Nel caso dell'equazione di secondo grado con $a=1$, se le radici non appartengono al campo dei coefficienti $Q$, le uniche relazioni a valori in $Q$ risultano essere $(x_1+x_2)$ ed $(x_1×x_2)$, cioe le funzioni simmetriche, i coefficienti $b$ ed $c$, per intenderci, quindi le due permutazioni delle radici che le lasciano invariate $(x_1,x_2)$, e quella identica $(x_1)(x_2)$, non costituiscono un gruppo? Ed non è $S_2$, gruppo simmetrico?
Sì se aggiungi $sqrt(Delta)$ al "campo base" allora nel campo base ti trovi tutte le radici quindi il gruppo di Galois è ${1}$.Se aggiungo un radicale al campo $Q$, in questo caso $sqrt(Delta)=(x_1-x_2)$, non appartenente a $Q$, in quanto abbiamo supposto i coefficienti algebricamente indipendenti , con $Delta=b^2-4c$, ho una perdita di simmetria, ed il gruppo di Galois si riduce all'identita. Giusto?
Ma c'è una differenza fondamentale. Se tu scegli specifici $a,b,c$ razionali allora il gruppo di Galois di $aX^2+bX+c$ non è necessariamente $S_2$, dipende dal valore che hai dato a $a,b,c$. Invece se $a,b,c$ sono variabili algebricamente indipendenti e il campo base è $K=QQ(a,b,c)$ allora il gruppo di Galois è $S_2$. Lo stesso vale per polinomi di grado $n$ qualsiasi (con $S_n$ invece di $S_2$).Poi sicuramente l'approccio moderno è piu generale , e considera un campo dei coefficienti che non necessariamente deve essere quello dei razionali;
Ma storicamente, almeno da quello che ho letto in rete, Galois a suo tempo considerava il campo $Q$ dei razionali .
Invece questa frase è del tutto incomprensibile. Cosa vuol dire "se non si considerano i coefficienti algebricamente indipendenti Il polinomio a coefficienti $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ avrebbe cone gruppo di galois il gruppo identico"? E' chiaro che nel momento in cui consideri un polinomio specifico, nel tuo caso $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$, i suoi coefficienti sono univocamente determinati, sono numeri razionali (addirittura interi) calcolabili esplicitamente, e ovviamente se hai dei numeri razionali sono automaticamente algebricamente dipendenti.Da quello che ho potuto capire se non si considerano i coefficienti algebricamente indipendenti Il polinomio a coefficienti $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ avrebbe cone gruppo di galois il gruppo identico , e quindi risulterebbe risolubile per radicali, e questo non risulterebbe vero, per mettere in evidenza la srtuttura della formula è necessario che i coefficienti siano algebricamente indipendenti.
25/06/2019, 09:21
25/06/2019, 18:36
26/06/2019, 00:26
26/06/2019, 17:15
16/07/2019, 07:30
16/07/2019, 07:55
francicko ha scritto:Se prendiamo però il polinomio $x^5-1$ il gruppo di galois contiene $phi(5)=4$ elementi? Mi sbaglio ancora?
Il suo gruppo di Galois a cosa è isomorfo ?
Inoltre il suo campo di spezzamento si ottiene semplicemente aggiungendo a $Q$ una radice ennesima dell 'unita $omega$, generatore ?
13/08/2019, 09:22
13/08/2019, 17:12
Ti suggerisco di seguire un corso serio, teoria di Galois richiede un impegno intenso e costante. Per impararla bene ti ci vogliono almeno un paio di mesi di immersione totale.francicko ha scritto:Grazie per le risposte, anche se ancora sono molto lontano da una piena comprensione di tale teoria, qualche piccolissimo passo riesco a farlo.
Mi sembrano molti pensieri in libertà soggetti a moltissime interpretazioni. Ti consiglio di dedicarti di più alla formulazione di enunciati esatti (la cui verità possa essere controllata senza equivoci). Enunciati falsificabili, come direbbe Popper. Altrimenti rimani troppo sul vago.L'osservazione principale è che il gruppo di galois descrive bene, la simmetria di un equazione, le radici inizialmente sono indistinguibili nel campo base contenente i coefficienti, il gruppo di galois misura questa indistinguibilita, sino a ridursi al gruppo identico, quando procedendo per ampliamenti successivi, arriviamo al campo di spezzamento, dove tali radici diventano distinguibili, giusto?
Si dimostra (ma non è immediato, ci vuole una mezza pagina) che il gruppo di Galois $G$ di $X^n-1$ è sempre abeliano, quindi in questo caso la catena di risolubilità di cui parli è semplicemente ${1} to G$. Se ti interessa la dimostrazione del fatto che in questo caso $G$ è abeliano la posso includere.Nel caso dell'equazione $x^n-1=0$ si passa direttamente dal campo base $Q$ al campo di spezzamento semplicemente aggiungendo una radice ennesima dell'
unità.
Quale è e di quali gruppi consta la catena di risolubilita del gruppo di Galois nel caso ad esempio Delle equazioni "$x^5-1$ ed $x^4-1$?
Grazie!
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