Chiarimenti su categorie duali

[Indrjo Dedej]

Voglio concentrarmi un'attimo sulle categorie opposte. Presa una categoria \(\mathcal C\), la categoria duale \(\mathcal C^\text{op}\) consiste degli stessi oggetti di \(\mathcal C\) (e fini qui niente di male) e per ogni oggetto $X,Y$ di \(\mathcal C\) si ha \(\hom^\text{op}(X,Y)=\hom(Y,X)\), e quindi delle stesse collezioni di morfismi di \(\mathcal C\). Quindi, se non sbaglio, sotto questi due punti di vista le due categorie sarebbero la stessa cosa. Le cose invece cambiano con le composizioni, dove in una sono\[(g,f) \mapsto gf\,,\] mentre nella duale\[(g,f) \mapsto fg\,.\] In definitiva la differenza tra una categoria e la sua duale sta nelle composizioni? Giusto?

[Euclidino]

Si. Nella categoria duale, invertiamo la direzione dei morfismi e quindi l'ordine della composizione.

[caulacau]

Quindi, se non sbaglio, sotto questi due punti di vista le due categorie sarebbero la stessa cosa.

No, non sono la stessa cosa: \(\bf Set\) e \({\bf Set}^\text{op}\) sono molto diverse (perché?).

[Indrjo Dedej]

È inutile che mi chiedi il perché. Il mio, se è un problema, è concettuale. Quindi, piuttosto correggimi qui.

[...] la categoria duale \(\mathcal C^\text{op}\) consiste degli stessi oggetti di \(\mathcal C\) e per ogni oggetto $X,Y$ di \(\mathcal C\) si ha \(\hom^\text{op}(X,Y)=\hom(Y,X)\), e quindi delle stesse collezioni di morfismi di \(\mathcal C\) [allora degli stessi morfismi]. Quindi, se non sbaglio, sotto questi due punti di vista le due categorie sarebbero la stessa cosa.[...]

Altrimenti, ti ripeterei di nuovo quello che ho scritto all'inizio.

[caulacau]

Dipende da cosa intendi con "gli stessi": globalmente, questo è vero, nel senso che
\[\hom(\mathcal C)=
\coprod_{X,Y\in \mathcal C} \hom(X,Y) = \coprod_{X,Y\in \mathcal C} \hom(Y,X) = \hom(\mathcal C^\text{op})
\] Del resto, la categoria degli insiemi non può essere equivalente (né tantomeno isomorfa) alla sua opposta, e il motivo è -tra tanti altri possibili motivi- che gli insiemi \(\hom_{\bf Set}(Y,\varnothing)\) e \(\hom_{\bf Set}(\varnothing, Y)\) sono molto diversi.

[Indrjo Dedej]

Riavvolgiamo il nastro...
Da definizione una categorie, tra le tante cose, consiste di per ogni oggetto \(X,Y\) di una collezione di frecce \(\hom(X,Y)\). Tutto innocuo e innocente. Se prendo due oggetti \(A\) e \(B\), allora sulla categoria in esame ci sono \(\hom(A,B)\) e \(\hom(B,A)\), dove quest'ultima è \(\hom^\text{op}(A,B)\). A dire: in \(\mathcal C\) ci sono gli oggetti e le frecce di \(\mathcal C^\text{op}\). Io adesso potrei rovesciare quello che ho fatto fino ad ora ed arrivare a: In \(\mathcal C^\text{op}\) ci sono gli oggetti e le frecce di \(\mathcal C\). Questo intendevo, con la "stessa cosa" se si considerano gli oggetti e le frecce. Riesco a farmi intendere?

[caulacau]

Ad esempio, in \(\bf Set\) i morfismi sono funzioni; ma ben pochi morfismi di \({\bf Set}^\text{op}\) sono funzioni.

Il punto è che intuitivamente quel che vorresti dire è chiaro: ma formalmente, è una visualizzazione sbagliata che porta a non capire qual è la ragione profonda per cui pochissime categorie sono autoduali. E' quindi meglio evitare di pensare che in \(\mathcal C^\text{op}\) "ci siano le frecce di \(\mathcal C\)" (soprattutto perché, ripeto, formalmente questo non ha senso: pensa a un poset $P$ guardato come categoria; in quale senso i morfismi di \(P^\text{op}\) sono "gli stessi" di quelli di $P$ - e soprattutto, chi sono quelli di $P$?).

[Indrjo Dedej]

Ad esempio, in \(\bf Set\) i morfismi sono funzioni; ma ben pochi morfismi di \({\bf Set}^\text{op}\) sono funzioni. [...]è una visualizzazione sbagliata[...]

È questo appunto il mio problema concettuale. Adesso ho capito: non necessariamente passando da una categoria alla sua duale i morfismi sono dello stesso tipo. Adesso mi è più chiaro e sensato tutto. Grazie.

[Indrjo Dedej]

Mmmh... Ci ritorno ancora e ancora ma non riesco a digerire questa cosa. In questa frase \[\hom^\text{op} (X,Y) = \hom(Y,X)\] c'è scritto o no quello che ho detto io? Capisco che devo cambiare il verso delle frecce, ma questa affermazione non mi quadra. Non è che non riesco a digerire il concetto, non mi va giù per come è scritta. Forse dovrei abbandonare questo tipo di definizione...

[j18eos]

Caso mai dovresti considerare una biezione
\[
\forall X,Y\in\mathrm{Ob}(\mathbf{C}),\,(\_)^{\vee}:\hom_{\mathbf{C}}(Y,X)\to\hom_{\mathbf{C}^{\vee}}(X,Y)
\]
tale che:
\[
\forall X,Y,Z\in\mathrm{Ob}(\mathbf{C}),\,f\in\hom_{\mathbf{C}}(X,Y),g\in\hom_{\mathbf{C}}(Y,Z),g\circ f\in\hom_{\mathbf{C}}(X,Z),\,(g\circ f)^{\vee}=f^{\vee}\circ g^{\vee}.
\]
Dove \(\displaystyle\dots\in\mathrm{Ob}(\cdot)\) ha un significato naïve, dato che il termine di destra non è detto che sia un insieme.

Per ulteriori dettagli, rimando al libro di MacLane - Categories for the working mathematician.