Re: Chiarimenti su categorie duali

Messaggioda caulacau » 30/06/2019, 17:57

Indrjo Dedej ha scritto:Mmmh... Ci ritorno ancora e ancora ma non riesco a digerire questa cosa. In questa frase \[\hom^\text{op} (X,Y) = \hom(Y,X)\] c'è scritto o no quello che ho detto io? Capisco che devo cambiare il verso delle frecce, ma questa affermazione non mi quadra. Non è che non riesco a digerire il concetto, non mi va giù per come è scritta. Forse dovrei abbandonare questo tipo di definizione...

Il punto è solo questo: le funzioni da $Y$ a $X$ sono particolari relazioni da $X$ a $Y$. Questo significa che i morfismi di \({\bf Set}^\text{op}\) sono particolari morfismi di \(\bf Set\). Questo resta vero per una categoria astratta \(\mathcal C\), ossia i morfismi dell'opposta da X a Y sono morfismi di C da Y a X; ma da nessuna parte (e infatti è falso) viene stabilita una equivalenza tra C e la sua opposta.
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Re: Chiarimenti su categorie duali

Messaggioda Indrjo Dedej » 30/06/2019, 19:15

Allora...
caulacau ha scritto:Ad esempio, in \( \bf Set \) i morfismi sono funzioni; ma ben pochi morfismi di \( {\bf Set}^\text{op} \) sono funzioni.

Se in \(\mathbf{Set}\) i morfismi sono funzioni tra insiemi, allora in \(\mathbf{Set}^\text{op}\) sono relazioni, questo ho compreso. Ed è giusto, no? Ora \(\hom(A,B)\), dati due oggetti \(A\) e \(B\) di \(\mathbf{Set}\), è una collezione di funzioni. Passando dalla categoria opposta, \(\hom^\text{op}(B,A)\) consiste di relazioni, tra le quali vi sono relazioni che non sono funzioni. E qui come faccio dire l'uguaglianza\[\hom^\text{op}(B,A)=\hom(A,B)\] quando a sinistra abbiamo anche relazioni non funzioni e a destra abbiamo solo funzioni?
Una descrizione come quella riportata da j18eos potrebbe essere la migliore via. Perché ho notato tra l'altro cercando informazioni sulle categorie opposte, si introduce questa nozione non usando quell'uguaglianza, ma usando locuzioni del tipo "si inverte il senso delle frecce", l'opposto di un morfismo \(a \rightarrow b\) è \(a \leftarrow b\), ...
Allora due sono le cose:
(1) i morfismi di una categoria e della sua opposta sono della "stessa natura" (i.e. funzioni in \(\mathbf{Set}\) e funzioni di nuovo in \(\mathbf{Set}^\text{op}\), omomorfismi in \(\mathbf{Grp}\) e omomorfismi ancora in \(\mathbf{Grp}^\text{op}\), etc... solo con dominio e codominio scambiati di ruolo)
(2) l'opposizione è un formalismo che fa comodo e ad esempio passando da \(\mathbf{Set}\) a \(\mathbf{Set}^\text{op}\) si passa da funzioni a qualcos'altro, in questo caso relazioni.
Quale delle due? La prima conferma quello che dicevo dall'inizio, la seconda è quello che ho capito da quel tuo intervento.
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Messaggioda j18eos » 01/07/2019, 09:47

La seconda opzione...

Prova a considerare la categoria \(\displaystyle\mathbf{C}\) con due soli oggetti \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\), due frecce da \(\displaystyle x\) a \(\displaystyle y\) e una freccia da \(\displaystyle y\) a \(\displaystyle x\); oltre alle frecce "identità". Come descriveresti \(\displaystyle\mathbf{C}^{\vee}\)?
Ipocrisìa e omofobìa,
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Semplicemente Armando. ;)
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Re: Chiarimenti su categorie duali

Messaggioda Indrjo Dedej » 01/07/2019, 11:44

Stessi oggetti, una freccia da $x$ a $y$ e due frecce da $y$ a $x$.
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Re: Chiarimenti su categorie duali

Messaggioda marco2132k » 02/07/2019, 01:06

Non sono in grao di studiare seriamente l'argomento ora, però avevo visto una o due defs. tempo fa. Magari prendi il post con le pinze, ma intanto vedi se può renderti la cosa meno fumosa.

Dato un poset \( \left(X, {\leqq}\right) \), considera la categoria \( C=C(X,{\leqq}) \) avente come oggetti i punti di \( X \), e come hom-set di due oggetti \( x \) e \( y \) l'insime
\[
\hom_C(x,y):=\begin{cases}\left\{(x,y)\right\} & \text{se $x\leqq y$}\\ \emptyset & \text{sennò}\end{cases}
\] (La composizione la definisci in modo solito per rispettare la prorpietà antisimmetrica). Ora c'è \( f\in\hom_C(x,y) \) se e solo se \( x\leqq y \).

Allora \( C^{\mathrm{op}} \) è esattamente la categoria \( C(X,{\geqq}) \) dato che, per definizione, per una categoria qualsiasi \( A \), presi due oggetti \( x \) e \( y \) di \( A \) è \( \hom_{A^{\mathrm{op}}}(x,y):=\hom_A(y,x) \). (Nel senso che c'è una freccia tra \( x \) e \( y \) in \( C^{\mathrm{op}} \) se e solo se \( x\leqq y \)).

L'esempio è uguale in http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf, a pagina 24.

Lì l'autore definisce semplicemente la catgoria \( C^{\mathrm{op}} \) opposta di \( C \) come quella avente per hom-set \( \hom_{C^{\mathrm{op}}}(x,y) \) di due oggetti l'insieme \( \hom_C(y,x) \); ecc. per la composizione. Ossia una funzione \( x\to y \) di \( C^{\mathrm{op}} \) è pur sempre una funzione \( y\to x \) di \( C \), perché vale l'inclusione \( \hom_{C^{\mathrm{op}}}(x,y)\subset\hom_C(y,x) \). Gli oggetti sono uguali in entrambe, ma i loro nomi nella duale no, da come l'ho recepito io.
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