Allora...
caulacau ha scritto:Ad esempio, in \( \bf Set \) i morfismi sono funzioni; ma ben pochi morfismi di \( {\bf Set}^\text{op} \) sono funzioni.
Se in \(\mathbf{Set}\) i morfismi sono funzioni tra insiemi, allora in \(\mathbf{Set}^\text{op}\) sono relazioni, questo ho compreso. Ed è giusto, no? Ora \(\hom(A,B)\), dati due oggetti \(A\) e \(B\) di \(\mathbf{Set}\), è una collezione di funzioni. Passando dalla categoria opposta, \(\hom^\text{op}(B,A)\) consiste di relazioni, tra le quali vi sono relazioni che non sono funzioni. E qui come faccio dire l'uguaglianza\[\hom^\text{op}(B,A)=\hom(A,B)\] quando a sinistra abbiamo anche relazioni non funzioni e a destra abbiamo solo funzioni?
Una descrizione come quella riportata da
j18eos potrebbe essere la migliore via. Perché ho notato tra l'altro cercando informazioni sulle categorie opposte, si introduce questa nozione non usando quell'uguaglianza, ma usando locuzioni del tipo "si inverte il senso delle frecce", l'opposto di un morfismo \(a \rightarrow b\) è \(a \leftarrow b\), ...
Allora due sono le cose:
(1) i morfismi di una categoria e della sua opposta sono della "stessa natura" (i.e. funzioni in \(\mathbf{Set}\) e funzioni di nuovo in \(\mathbf{Set}^\text{op}\), omomorfismi in \(\mathbf{Grp}\) e omomorfismi ancora in \(\mathbf{Grp}^\text{op}\), etc... solo con dominio e codominio scambiati di ruolo)
(2)
l'opposizione è un formalismo che fa comodo e ad esempio passando da \(\mathbf{Set}\) a \(\mathbf{Set}^\text{op}\) si passa da funzioni a qualcos'altro, in questo caso relazioni.
Quale delle due? La prima conferma quello che dicevo dall'inizio, la seconda è quello che ho capito da quel tuo intervento.