Sia $A$ PID (dominio a ideali principali).
Sia $M$ un $A$-modulo libero e finitamente generato, diciamo $B={e_1,...,e_t}$ base per $M$.
Sia $n \in M-{0}$, $n=a_1e_1+...+a_te_t$ (so che la scrittura come combinazione lineare di elementi una base è unica) tale che l'ideale $(a_1,...,a_n)=(1)$.
Posso sempre estendere $n$ a base di $M$?
Ovvero, esiste $C$ base per $M$ tche $n\in C$?
Se sì: esiste un algoritmo per determinarla?
Se qualcuno mi aiutasse gliene sarei infinitamente grato, ho speso tutto il giorno a tentare di dimostrare/confutare questa proposizione ma concludendo quasi nulla di concreto. La sensazione è che sia vera...
Se può essere utile credo in realtà di aver dimostrato che è vera se $t=rnk(M)=1,2$ (il caso 1 è facile ma già per 2 ho fatto fatica).
Semmai domani posto questa soluzione parziale (adesso sono troppo stanco), ma se qualcuno avesse qualche suggerimento da darmi nel frattempo lo accetterei volentieri