Sappiamo che $A$ anello è artiniano sse è noetheriano e ogni ideale primo è massimale.
Dato $K$ campo ho $K[x]$ artiniano poiché $K[x]$ è PID, quindi è noetheriano e ogni ideale primo è massimale.
Per definizione un anello artiniano deve rispettare la condizione della catena discendente, tuttavia se considero:
$(x)\sup(x^2)\sup(x^3)\sup...$ questa è una catena discendente che non stabilizza.
Dove sbaglio?