Anelli Artiniani

[jinsang]

Sappiamo che $A$ anello è artiniano sse è noetheriano e ogni ideale primo è massimale.
Dato $K$ campo ho $K[x]$ artiniano poiché $K[x]$ è PID, quindi è noetheriano e ogni ideale primo è massimale.
Per definizione un anello artiniano deve rispettare la condizione della catena discendente, tuttavia se considero:
$(x)\sup(x^2)\sup(x^3)\sup...$ questa è una catena discendente che non stabilizza.
Dove sbaglio?

[jinsang]

Credo di aver capito:
$(0)$ è un primo ma non è massimale.
Quindi in effetti non è vero che nei PID ogni ideale primo è massimale.
(anche se in effetti $(0)$ è l'unica eccezione)
Quindi $K[x]$ (come ogni PID che ammette ideali non banali) non è artiniano.
La catena colpevole è proprio quella che avevo scritto prima.

[caulacau]

non è vero che nei PID ogni ideale primo è massimale

E ci credo: un PID di dimensione zero è un campo.

[jinsang]

E ci credo: un PID di dimensione zero è un campo.

Sì, è vero, e infatti un campo è artiniano

Il mio errore stava nel non considerare l'ideale (0) tra le catene di primi per il calcolo della dimensione, avevo in testa questa frase che in un PID ogni ideale primo (non banale) è massimale, ma quel non banale è fondamentale ahah