Diofantea quadratica $16*x^2-1227*y^2-z^2-16=0$

[P_1_6]

Come si risolve questa diofantea quadratica
$16*x^2-1227*y^2-z^2-16=0$

[j18eos]

Tralasciando la mancanza di qualsiasi tentativo di soluzione; prova a ragionare in modulo 4.

[P_1_6]

ho provato ma non ci arrivo proprio

[j18eos]

Considerata l'equazione diofantea
\[
16x^2-1227y^2-z^2-16=0,
\]
come scrivevo nel mio primo suggerimento: ragionando in modulo 4, si ottiene l'equazione congruenziale
\[
-1227y^2-z^2\equiv0(mod\,4)\\
-3y^2-z^2\equiv0(mod\,4)\\
y^2-z^2\equiv0(mod\,4)\iff\exists w\in\mathbb{Z}\mid y^2-z^2=4w_0
\]
quindi l'equazione diofantea di partenza diviene equivalente al sistema di equazioni diofantee:
\[
\begin{cases}
z^2=y^2+4w_0\\
16x^2-1228y^2+4w_0-16=0
\end{cases}\\
\begin{cases}
z^2=y^2+4w_0\\
4x^2-307y^2+w_0-4=0
\end{cases}.
\]
Ragionando di nuovo in modulo 4, per la seconda equazione, si ha che:
\[
\exists w_1\in\mathbb{Z}\mid y^2+w_0=4w_1\\
4x^2-308y^2+4w_1-4=0\\
x^2-77y^2+w_1-1=0
\]
ovvero
\[
\begin{cases}
z^2=y^2+4w_0\\
y^2=-w_0+4w_1\\
x^2-77y^2+w_1-1=0
\end{cases}.
\]
Ragionando in modulo 7 e 11, si ha che:
\[
\exists h,k\in\mathbb{Z}\mid\begin{cases}
x^2+w_1-1=7h\\
x^2+w_1-1=11k
\end{cases}\iff 7h=11k;
\]
da cui la possibilità banale che sia:
\[
h=k=0\Rightarrow\begin{cases}
z^2=y^2+4w_0\\
y^2=w_0+4w_1\\
x^2+w_1-1=0\\
-77y^2=0
\end{cases}.
\]
Riscrivendo tutto con calma
\[
\begin{cases}
z^2=4w_0\\
w_0+4w_1=0\\
x^2=-w_1+1\\
y=0
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
y=0\\
z^2=4w_0\\
w_0=-4w_1\\
x^2=-w_1+1
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
y=0\\
z^2=-16w_1\\
x^2=-w_1+1
\end{cases};
\]
quindi dev'essere \(\displaystyle z=4z_0\) e \(\displaystyle w_1=-a^2\) con \(\displaystyle a\in\mathbb{Z}\); ciò sia
\[
\begin{cases}
y=0\\
z=4z_0\\
z_0^2=a^2\\
x^2=a^2+1
\end{cases}
\]
ovvero dev'essere \(\displaystyle a=0\) e quindi delle soluzioni ricercate sono quelle banali, cioè \(\displaystyle(x,y,z)=(\pm1,0,0)\).

Le soluzioni non banali (se esistono) si ricavano studiando il sistema di equazioni diofantee
\[
\begin{cases}
z^2=y^2+4w_0\\
y^2=w_0+4w_1\\
x^2+w_1-1=77w_2\\
-77y^2=0
\end{cases}
\]
e da quanto dimostrato nel caso delle soluzioni banali, risultano \(\displaystyle y=0\) e \(\displaystyle z=4z_0\); quindi l'equazione si semplifica come segue:
\[
x^2-z^2-1=0,
\]
ma per quanto già calcolato, si ritrova che le soluzioni sono sempre quelle banali; per cui non ci sono soluzioni non banali.

[P_1_6]

io ho trovato questa
$16*(n^2+1)^2-1227*(2*n)^2-(16*n^4-4876*n^2)-16=0$

[j18eos]

Ho trovato il mio errore

Però, purtroppo non riesco a correggerlo ora...

Non dovrebbe essere \(\displaystyle z^2=16n^4-4908n^2\)? Ammesso che sia possibile avere un quadrato perfetto per alcuni valori di \(\displaystyle n\)!

[P_1_6]

hai ragione ho trovato solo alcune soluzioni

[j18eos]

Io ho corretto il mio ragionamento, e comunque trovo solo la soluzione banale...