Relazione di equivalenza e classi di equivalenza

[lukixx]

premetto che non sapevo dove postare perchè è una domanda molto generica:
se dimostro che una certa relazione sia di equivalenza, è automaticamente dimostrata la costruzione di classi di equivalenza relative a quella relazione?
un esempio: se dimostro che la relazione di similitudine tra matrici è di equivalenza è automaticamente possibile dire che lo spazio di tutte le matrici quadrate è divisibile in classi di equivalenza disgiunte l'un l'altre e i cui elementi sono tutti legati tra loro attraverso la relazione di similitudine?

[caulacau]

Sì, se $R\subseteq A\times A$ è una relazione di equivalenza su un insieme $A$, allora $R$ partiziona $A$ in classi di equivalenza: supponi che \([x] = \{a\in A \mid xRa\}\) e \([y] = \{b\in A \mid yRb\}\) abbiano intersezione non vuota; allora esiste $z$ tale che $xRz$ e $yRz$; col che, dato che$R$ è simmetrica e transitiva, $xRy$ e quindi $[x]=[y]$.

[lukixx]

grazie mille