Non esiste funzione suriettiva da A alle parti di A

Teorema: Sia A un insieme. Non esiste alcuna applicazione suriettiva tra $A$ e $P(A)$.
Dimostrazione: Sia $ f: A \mapsto P(A)$ una applicazione suriettiva e consideriamo l'insieme $E = {x \in A: x \notin f(x)}$. Poiché $f$ è suriettiva, esisterà un $e \in A$ tale che $E = f(e)$. Ci chiediamo ora: $e$ appartiene ad $E$ oppure no?
Sfruttando il paradosso di Russell l'autore conclude la dimostrazione. Non ho capito perché definisce $E$ in quel modo. Se fosse definito in un altro modo?

Tipo come?

Dato che $E \in P(A)$ non penso che si possa definire. È uno dei sottoinsiemi di $A$, come vengono "generati" questi sottoinsiemi è più una questione di calcolo combinatorio. Ciò che dice il teorema è chiaro, così come è facile capire che se ho 2 libretti e 4 studenti, non posso dare un libretto a ciascuno degli studenti. Il problema è il passo indicato della dimostrazione.

Dato che $E \in P(A)$ non penso che si possa definire.

Certo che si può definire, lo hai appena fatto.

come vengono "generati" questi sottoinsiemi è più una questione di calcolo combinatorio

Magari!

La dimostrazione rimane non chiara per me.

Ma cosa c'è che non ti è chiaro?

$P(A)$ è determinato a partire dagli elementi di A. Siccome bisogna dimostrare il teorema per ogni A, perché scegliere proprio $E$ così definito?

$P(A)$ è determinato a partire dagli elementi di A. Siccome bisogna dimostrare il teorema per ogni A, perché scegliere proprio $E$ così definito?

Perché per ogni $A$ esiste l'$E$ che riesce a dimostrare che non esiste una suriezione $A \to PA$. E il motivo per cui esiste è che riesci a scriverlo: come disse Homer Simpson, "la teoria degli insiemi è la causa di, e la soluzione a, tutti i miei problemi".

$P(A)$ è determinato a partire dagli elementi di A. Siccome bisogna dimostrare il teorema per ogni A, perché scegliere proprio $E$ così definito?

È una dimostrazione per assurdo. Questo significa che è un argomento che a partire dalla negazione della tesi arriva a un assurdo. Quindi la tesi è vera. Si poteva usare un argomento diverso, sì, ma questo non significa che l'argomento usato non vada bene. Qualsiasi argomento che funziona è una dimostrazione.