Un simpatico teorema di algebra.

[karl]

<b>Sia P(x) un polinomio a coefficienti in Z:
dimostrare che se P(0) e P(1) sono entrambi
dispari,allora P(x) non ha radici in Z (cioe'
non ha radici intere)</b>.
Questo teorema pemette,sia pure limitatamente,di
evitare di far prove inutili nella ricerca
di eventuali radici intere di un polinomio.
Per es. consideriamo il polinomio P(x)=x<img src=icon_smile_sad.gif border=0 align=middle>-5x+9.
Risulta:P(0)=9 e P(1)=5 e dunque P(x) non ha radici
intere,mentre con l'ordinario procedimento occorre
fare 6 prove,tante quanti sono i divisori (relativi)
del termine noto 9,per determinare le eventuali radici in Z.
E' vero che ci sono le calcolatrice (ed i calcolatori)
ma cosi rischiamo di non saper fare piu' neanche 3+5 (ricordo
che fa 8!!).
Del resto P(0) e' il termine noto di P(x) e P(1) e'
la somma dei coefficienti dello stesso polinomio.
Off Topic.
Nell'anno 2010, in un paese tecnologicamente avanzatissimo,
viveva un vecchio assai ammirato e considerato dai suoi
concittadini.Quelli che venivano da fuori non si
capacitavano del perche' di tanta stima, visto che il vecchio
non sembrava particolarmente dotato.
Qualche tempo dopo se ne scopri' la ragione:il vegliardo era
l'unico del paese che sapeva fare le (piccole) addizioni
e sottrazioni ...a mente!!
karl.

[Pachito]

<BLOCKQUOTE id=quote><font size=1 face="Verdana, Arial, Helvetica" id=quote>citazione:<hr height=1 noshade id=quote>Del resto P(0) e' il termine noto di P(x) e P(1) e'
la somma dei coefficienti dello stesso polinomio.<hr height=1 noshade id=quote></BLOCKQUOTE id=quote></font id=quote><font face="Verdana, Arial, Helvetica" size=2 id=quote>
La dimostrazione e all'incirca tutta qui.
Il termine noto infatti e dato dal prodotto di tutte le radici del polinomio.
Se questo è dispari lo saranno dunque tutte le eventuali radici intere, supponendo che ne abbia.
La somma dei coefficienti del polinomio è data dalla somma di 2 numeri dispari (termine noto e coeff. 1 del termine di grado più alto) e a seconda che il polinomio sia di grado pari o dispari da un numero dispari o pari di numeri pari o dispari. (scusate il gioco di parole)
Per esempio in un polinomio di grado 3 P(1) è formato dalla somma di 4 numeri dispari.
In un polinomio di grado 4 P(1) è formato dalla somma di 3 numeri pari e 2 dispari.
In definitiva affinchè la somma sia dispari deve accadere che almeno uno dei coefficienti sia 0 e che il grado del polinomio sia dispari.
Ma siccome i coefficienti di un polinomio dispari sono dati dalla somma di opportune combinazioni di numeri comunque dispari, non potrà mai accadere che questi diano 0 (almeno nell'ipotesi di numeri interi).
Es polinomio di grado 3 con radici a b c
P(0)=abc dispari dunque a,b,c dispari
P(1)=1-(a+b+c)+(ab+ac+cb)+abc sarebbe pari a meno che (a+b+c) o (ab+ac+cb) siano nulli ma ciò è impossibile se a,b,c interi.

Più difficile a dirsi che a farsi.