11/06/2019, 12:44
Dove sembra (vd. qui, primo link) che con "insieme di rappresentanti di \( K \) in \( H \)", Lang intenda un sottoinsieme \( \left\{x_i\right\} \) di \( H \) contenente uno ed un solo rappresentante per ciascun coset di \( K \) in \( H \).Let \( G \) be a group and \( H \) be a subgroup. Then \[ \tag{1}(G:H)(H:1)=(G:1) \] in the sense that if two of these two indices are finite, so is the third and equality holds as stated. [...]
More generally, let \( H \), \( K \) be subgroups of \( G \) and let \( H\supset K \). Let \( \left\{x_i\right\} \) be a set of (left) representatives of \( K \) in \( H \) and let \( \left\{y_j\right\} \) be a set of coset representatives of \( H \) in \( G \). Then we contend that \( \left\{y_jx_i\right\} \) is a set of coset representatives of \( K \) in \( G \).
[...] The formula of Proposition 2.2 may be therefore be generalized by writing \[ \tag{2}(G:K)=(G:H)(H:K) \] with the understanding that if two of these three indices appearing in this formula are finite, then so is the third and the formula holds.
Moderatore: vict85
11/06/2019, 12:44
11/06/2019, 13:11
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12/06/2019, 17:42
Perché gli \( h_\alpha \) vengono presi in \( H\setminus K \)? Un insieme di rappresentanti viene definito in altri posti come un insieme contenente uno ed uno solo rappresentante per ogni coset: è una definizione che mi sembra equivalente a quella tua (i coset sono le classi di equivalenza per \( {\equiv} \) definita in \( H \) come \( a\equiv b \) se e solo se \( b=ak \) per qualche \( k\in K \)), tranne per il fatto che così escludi \( K=eK \), dove \( e \) è l'identità del gruppo.vict85 ha scritto:Con insiemi di rappresentanti di \( K \) in \( H \) intende un sottoinsieme \( \{h_{\alpha}\}_{\alpha\in (H:K)} \) di \( H\setminus K \) tale che \( h_{\alpha}K\cap h_{\beta}K = \emptyset \) per ogni \( \alpha\neq\beta \) e tale che \( \bigcup_{\alpha} h_{\alpha}K = H \).
13/06/2019, 08:43
13/06/2019, 11:07
13/06/2019, 11:13
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