Esercizi: trovare inverso di un polinomio (in Anello o Campo)

[AAnto]

Grazie a tutti per le risposte.
Quindi al punto 2 dell'esercizio posso iniziare così.
Affermo che esiste l'inverso di $x + J$, poiché $(x,f) = 1$.

Poi glielo ricavo.. ed è fatto...
giusto? Quindi sta tutto bene?

[jinsang]

Quindi al punto 2 dell'esercizio posso iniziare così.
Affermo che esiste l'inverso di x+J, poiché (x,f)=1.

Poi glielo ricavo.. ed è fatto...
giusto? Quindi sta tutto bene?

Sì secondo me va benissimo.
Tra l'altro in questo caso è facile vedere che $f=x(4x^3+x-3)+1$ e quindi $-(4x^3+x-3)x=1-f$
quindi $-(4x^3+x-3)x=1 (mod f)$ e quindi il tuo inverso è $-4x^3-x+3$
senza usare esplicitamente Euclide.

[j18eos]

In effetti quell'ultima inclusione è errata; ora la aggiusto.

Quello che volevo dire, lo ha già scritto jinsang

[jinsang]

Scusami j18eos se rompo le scatole, ma continua a non tornarmi

Tu dici:

$J⫋(4x^4+x^2−3x+1,x^2)=(−3x+1)$

A me viene di nuovo $(4x^4+x^2−3x+1,x^2)=Q[x]$

Infatti $(4x^4+x^2−3x+1,x^2)=(-3x+1,x^2)=(-3x+1,3x^2+x(-3x+1))=(-3x+1,x)=(1)$.

Secondo me, essendo che $Q[x]$ è PID, l'unico modo per trovare un ideale $I=(g)$ tche $J=(f)⫋I=(g)⫋Q[x]$ è trovare un fattore non banale di $f$.
(Infatti si deve avere $g|f$)
E quindi io avrei tentato (come ha fatto AAnto) di trovare una radice del polinomio, o comunque avrei cercato una fattorizzazione, oppure avrei provato a dimostrare che tale polinomio è irriducibile nel caso i tentativi precedenti non fossero andati in porto (cosa che non è).

Magari mi sbaglio ehh, credo che j18eos abbia più esperienza di me

[j18eos]

Tranquill*, hai perfettamente ragione: \(\displaystyle x^2\) ed \(\displaystyle f\) (sono di corsa, NdA) sono coprimi, per cui per il teorema di Bézout (e per l'aria condizionata della palestra, NdA) ho scritto un'altra scemenza...

Comunque: la tecnica di trovare un ideale (massimale) che contenga propriamente \(\displaystyle J\) è valida, il fastidio è trovare questo ideale; nel caso di \(\displaystyle\mathbb{Q}[x]\) è un po' tosta la questione, poiché questi è un anello con dimensione di Krull \(\displaystyle1\), ovvero le catene di ideali primi sono lunghe al più \(\displaystyle 1\)!

EDIT: essendo \(\displaystyle\mathbb{Q}\) un campo, \(\displaystyle\mathbb{Q}[x]\) è un anello euclideo, per cui un P.I.D. e un anello fattoriale; l'unica maniera per trovare un ideale massima le che contenga \(\displaystyle J\), è trovare un divisore non banale di \(\displaystyle f\)... per cui non c'è scampo Peccato: non voglio vedere il teorema del Resto di Ruffini per un bel po'!!!