Dubbio suriettività

[Salvy]

Ragazzi se per ipotesi restringessi il codominio di una funzione ad f(D), otterrei sempre una funzione suriettiva?

[caulacau]

Sì.

[axpgn]

Scusami caulacau ma tu a quale domanda hai risposto?
Io sono convinto che tu abbia capito cosa intendesse dire l'OP ma a me la domanda non è affatto chiara …
Cosa è $D$ ? Presumibilmente il dominio ma specificarlo non sarebbe male …
La funzione era suriettiva anche prima della restrizione? Anche questo è probabile, visto quanto afferma l'OP, ma non certo …
Se così fosse però il codominio coincideva con l'immagine già prima dato che se una funzione è suriettiva allora ogni elemento del codominio è immagine di qualche elemento del dominio e quindi il codominio coincide con l'immagine; ma allora a quale restrizione si riferisce l'OP ?
IMHO

Cordialmente, Alex

[caulacau]

Mi sembrava chiaro che si intendesse $f$ come una funzione $D\to X$, e allora (co)restringendo $f$ al suo dominio si ottiene una suriezione. Se $f$ era già suriettiva, poco male, $f(D)=X$.

[axpgn]

Come detto, ho capito che avevi capito ma a me (e non credo di essere il solo) la domanda non era affatto chiara (e non lo è).
Il fatto è che siamo in un forum pubblico quindi la sua domanda e la tua laconica risposta non sono un fatto privato tra voi due perciò è meglio essere chiari a vantaggio di chi potrebbe leggerci.
Peraltro, io continuo ad avere il dubbio che l'OP non abbia le idee chiare: tu come risponderesti alla mia ultima domanda?

Cordialmente, Alex

[caulacau]

ma allora a quale restrizione si riferisce l'OP ?

Se intendi questa domanda, mi sembra evidente: se $f$ era già suriettiva, la corestrizione di $f$ alla sua immagine coincide con $f$.

Più formalmente, ogni funzione di insiemi $f : A \to B$ si può fattorizzare come composizione

dove $e$ è suriettiva e $m$ è iniettiva. Chiaramente, $e$ si può ottenere come la corestrizione di $f$ alla sua immagine, e $m$ è l'inclusione di $f(D)$ come sottoinsieme di $B$. Questa fattorizzazione è unica a meno di isomorfismo, nel senso che se ne viene data un'altra

allora esiste una biiezione canonica tra $E$ ed $E'$ (prova a dimostrarlo).

C'è di più, però: esiste anche una fattorizzazione

dove $m = i_A$ è un'inclusione ed $e$ una suriezione: la prima mappa è ottenuta immergendo $A$ in \(K=A \amalg B\), e la seconda è definita da \(\langle 1_A , f\rangle : A\amalg B \to B\) (l'unica mappa che fa commutare

in tutte le sue parti). Questa però non è unica a meno di isomorfismo: sai trovare una fattorizzazione di $f$ in (mono, epi) tale che il termine di mezzo non sia in biiezione con \(A\amalg B\)?

[axpgn]

Quando mai te l'ho chiesto … era una domanda retorica, infatti la risposta me l'ero già data nella domanda …
Il punto non è questo ma, secondo me, il fatto che l'OP non ha le idee chiare, altrimenti non avrebbe fatto quella domanda …