Tips and tricks per principio di induzione

Ciao a tutti, sto facendo un po' di esercizi sul principio di induzione di prima forma ma mi blocco in tutti. Esistono dei "trucchetti" per riuscire a semplificare i conti per arrivare a $P(n+1)$?
Per intenderci, ho che $$1-\frac{1}{(2n+1)!}+\frac{4(n+1)^2+2(n+1)-1}{(2(n+1)+1)!}=1-\frac{1}{(2(n+1)+1)!}$$
Questo è solo un esempio per dire che le ho provate (quasi) tutte ma non riesco a trovare una soluzione.
Quindi la mia domanda è se ci sono dei sistemi che vengono usati spesso per risolvere problemi sul principio d'induzione come nell'esempio

Non serve alcun metodo specifico. Ti basta raccogliere a fattore comune e fare una sottrazione tra frazioni.

Poniamo \(k = 2(n+1) = 2n+2\). Si ha dunque \(2n+1 = 2n+2-1 = k-1\), \(4(n+1)^2 = 2^2(n+1)^2 = k^2\) e \(2(n+1)+1 = k+1\). Ovvero risulta che
\begin{align*} 1-\frac{1}{(2n+1)!}+\frac{4(n+1)^2+2(n+1)-1}{(2(n+1)+1)!} &= 1-\frac{1}{(k-1)!}+\frac{k^2+k-1}{(k+1)!} \\
&= 1-\frac{k(k+1)}{(k+1)!}+\frac{k(k+1)-1}{(k+1)!} \\
&= 1-\frac{1}{(k+1)!}
\end{align*}
Ovvero quello che desideravi.