Grado di un'estensione

Ciao,
potreste invece dirmi se questo esercizio l'ho fatto bene?

Esercizio
Calcolare il grado su $Q$ di $Q(i, 5^(1/4))$. ** Scusate sono impazzito, ma non sono riuscito a scrivere su Latex radice quarta di 5.

mio svolgimento

Sarebbe da calcolare $[Q(i, 5^(1/4)) : Q]$. Per la regola della catena posso scrivere

$[Q(i, 5^(1/4)) : Q]$ = $[Q(5^(1/4))(i) : Q(5^(1/4))] * [Q(5^(1/4)) : Q]$

Poiché si può dimostrare che $x^4 - 5$ è polinomio minimo di radice quarta di 5 su $Q$, l'ultimo termine è 4.
Il primo termine rappresenta il grado del polinomio minimo di $i$ su $Q(5^(1/4))$.

Osservazione__
Bene, potrei scrivere l'ipotetico polinomio minimo ma non credo di sapere dei criteri per l'irriducibilità di un polinomio in un'estensione di $Q$ e pertanto non riesco a provare che quello trovato rappresenti il polinomio minimo,___

Considero $x^2 + 1$. Questo è un polinomio a coefficienti in $Q(5^(1/4))$ che si annulla in $i$ ed in più è monico. Pertanto posso dire che il grado cercato è minore o uguale a 2.
Se per assurdo fosse pari a 1, vorrebbe dire che $x-i$ sarebbe polinomio minimo, ma ciò è assurdo poiché sarebbe che $i \in Q(5^(1/4))$.
Necessariamente il grado cercato deve essere 2. Quindi

$[Q(i, 5^(1/4)) : Q] = 8$

Potrebbe andare? Non ho neppure il risultato.
Nel caso ci sarebbero altri modi più interessanti?

Mi sembra giusto:

Questo è un polinomio a coefficienti in $Q(5^(1/4))$ che si annulla in $i$ ed in più è monico. Pertanto posso dire che il grado cercato è minore o uguale a 2.
Se per assurdo fosse pari a 1, vorrebbe dire che $x-i$ sarebbe polinomio minimo, ma ciò è assurdo poiché sarebbe che $i \in Q(5^(1/4))$.
Necessariamente il grado cercato deve essere 2.