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Ciao,
ho il seguente esercizio.

Sia $(A, +, *)$ Anello Commutativo Unitario, sia $a \in A$ e sia il seguente sottoanello di $A$,

$Id = \{ ax - x, x \in A\}$

1) Dimostrare che $Id$ ideale di $A$

2) Dimostrare $a-1$ è invertibile se e solo se $Id = A$

Per il punto 1) penso di fare così:

Basta provare che $Id$ non vuoto, chiuso per la sottrazione e vale la proprietà "assorbente".

Sia $1 \in A$, in quanto $(A, + , *)$ Anello Commutativo Unitario. Così segue che $1x - x = x - x = 0$, ovvero $Id$ non vuoto.

Poi non saprei andare avanti.
Il mio problema sta nel tradurre negli esercizi la teoria.
Potreste aiutarmi?!?

Dovresti dimostrare che \(\displaystyle Id\) è l'ideale generato dall'elemento \(\displaystyle a-1\)!

Non ti viene in mente nulla?

Io sono bloccato al primo punto ancora.
Non riesco a far vedere che quello è ideale

Sono piuttosto arrugginito su queste questioni, ma non basta notare che $ax-x = (a-1)x$, sicché $Id = (a-1)A$?

Più o meno sì: c'è un'ipotesi su \(\displaystyle A\) che giustifica la precedente eguaglianza...

Tra le ipotesi hai già che è un sottoanello, quindi non ti rimane molto da dimostrare. È sufficiente usare la proprietà distributiva e commutativa. Che sia non vuoto è banale. Insomma \(a-1\in Id\), qualsiasi sia il suo valore. La tua dimostrazione del fatto che sia non vuoto non ha alcun senso.

Per il punto 2 devi ragionare su cosa significa che \(Id = A\).

Non mi sembra che sia un sottoanello, almeno non per ogni scelta di $a$...

caulacau ha scritto:Non mi sembra che sia un sottoanello, almeno non per ogni scelta di $a$...

Suppongo che l'autore del problema non richieda che il sottoanello sia unitario.