Esercizio su anelli, divisori dello zero ed elementi invertibili

[Maro]

Salve, spero possiate aiutarmi con il seguente esercizio:

Determinare i divisori dello zero, gli elementi invertibili ed esplicitare l'inverso degli elementi invertibili nell'anello \(\displaystyle ( \mathbb{Z}_{26},+,\cdot ) \)

Ho trovato i divisori dello zero con \(\displaystyle a\neq 0\in \mathbb{Z} \) \(\displaystyle \exists b\neq0 | ab=0 \), che sono:
\(\displaystyle \left \{ [2],[4],[6],[8],[10],[12],[13],[14],[16],[18],[20],[22],[24] \right \} \)

Ho trovato poi gli elementi invertibili con \(\displaystyle U(\mathbb{Z}_{n}) = a\in \mathbb{Z}|MCD(a,n)=1 \), che sono:
\(\displaystyle U(\mathbb{Z}_{26}) = \left \{ [1],[3],[5],[7],[9],[11],[15],[17],[19],[21],[23],[25] \right \} \)

Fin qui credo di aver fatto tutto bene (correggetemi se sbaglio). Il problema sorge sulla forma esplicita degli elementi invertibili. Come la ottengo?

Grazie in anticipo

[jinsang]

Spero di aver capito la domanda...
Comunque io mi muoverei nel modo più ovvio, ovvero cercherei esplicitamente in $(U(ZZ_26))^2$ le coppie di elementi che sono uno inverso dell'altro.
Ne trovo un po' per farti capire cosa intendo:
$(\bar{1},\bar{1})$ è una coppia perché $\bar{1}$ è inverso di se stesso.
$(\bar{3},\bar{9})$ è una coppia.
Da questa sopra deduco che anche $(\bar{-3},\bar{-9})=(\bar{23},\bar{17})$ è una coppia.
Per ogni coppia $(a,b)$ avrei anche la coppia $(b,a)$ (direi di più... questa introdotta è una relazione di equivalenza)
Ho finito quando ogni elemento $x \in U(ZZ_26)$ sta in una coppia (ognuno apparirà esattamente due volte: $(x,y)$ e $(y,x)$).
Non credo ci sia un criterio per trovare l'inverso (qui sostanzialmente stiamo andando a caso/naso) e non so se varrebbe la pena applicarlo in un caso così piccolo

P.S. Sei sicuro che $0$ non vada contato tra i divisori di zero?

[Maro]

Ciao! Innanzitutto grazie per la risposta;
Per quanto riguarda

P.S. Sei sicuro che $0$ non vada contato tra i divisori di zero?

credo di si, dal momento che ho seguito la formula \(\displaystyle a\neq 0\in \mathbb{Z} \) \(\displaystyle \exists b\neq0 | ab=0 \), dove esclude a prescindere lo $0$

Per la risoluzione dell'esercizio alla fine ho risolto (perdendoci la testa):
Partendo dalla definizione di inverso $a\cdot a^{-1}\equiv _{n}1$ arrivo ad $a^{-1}=\frac{nq+1}{a}$ con $q\in \mathbb{Z}\ \ t.c.\ nq=(a\cdot a^{-1})-1$