Gruppi visti come categorie

Messaggioda Indrjo Dedej » 29/06/2019, 11:01

Esercizio che sarà pur molto semplice, ma a me serve per familiarizzare col linguaggio.
L'esercizio in questione è qui a pagina 26 esercizio 1.2.23.a. Ecco il gruppo \(G\) visto come una categoria ad un solo oggetto
\xymatrix{
\bullet \ar@(l,ul)[]^y \ar@(d,dl)[] \ar@(r,dr)[]^x \ar@(u,ur)[]
}
Essendo i morfismi di \(G\) isomorfismi allora pure i morfismi di \(G^\text{op}\) sono isomorfismi. In particolare \(f^\text{op}\) è l'inversa di \(f\), e quindi \(ff^\text{op}=1\) e \(f^\text{op}f=1\), dove con \(1\) indico il morfismo identità su \(\bullet\). In questo caso particolare le due categorie hanno gli stessi morfismi.
Ora per dire che \(G \cong G^\text{op}\), devo far vedere che un funtore che sia isomorfismo in \(\mathbf{CAT}\). Eccolo:\[()^\text{op} \colon G \mapsto G^\text{op}\,,\]che manda \(\bullet\) in sé e che manda ogni morfismo \(f\) in \(f^\text{op}\). Infatti, se indico con \(\circ\) la composizione di morfismi in \(G\) e con \(\ast\) la composizione di quelli in \(G^\text{op}\), ho che per ogni morfismo \(x\) e \(y\) \[(x \circ y)^\text{op}=y^\text{op} \circ x^\text{op}=x^\text{op} \ast y^\text{op}\,.\]Banalmente \(1^\text{op}=1\).
Mostro che questo funtore è un isomorfismo. Basta prendere \(H \colon G^\text{op} \mapsto G\) che manda \(\bullet\) in \(\bullet\) e un morfismo \(f\) in \(f^\text{op}\): \(()^\text{op}H\) e \(H()^\text{op}\) sono funtori identità.
Può andare?
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Re: Gruppi visti come categorie

Messaggioda caulacau » 29/06/2019, 13:38

La mappa che ti interessa, è semplicemente l'inversione \((\_)^{-1} : G \to G\); questo è un anti-isomorfismo da $G$ al gruppo opposto di $G$, dove hai gli stessi elementi ma hai girato l'operazione di gruppo: \(x \cdot_{G^\text{op}} y := y \cdot_G x\).
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Re: Gruppi visti come categorie

Messaggioda Indrjo Dedej » 29/06/2019, 14:04

Sì, alla fine \(()^{-1}\) e \(()^\text{op}\) sono la stessa cosa.
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