(Meta)esercizio sulla teoria delle categorie

[Indrjo Dedej]

Buona (caldissima) giornata a tutti!
Il dubbio riguarda l'esercizio 1.2.27 qui insieme alla definizione 1.2.16 e al warning 1.12.17.
Sono portato a pensare che richiedere che \begin{equation}\text{per ogni morfismo $f_1$ e $f_2$ in \(\mathcal A\)} \colon f_1 \ne f_2 \Rightarrow F(f_1) \ne F(f_2)\end{equation} sia in realtà troppo restrittivo per la definizione di fedele. Cioè si vuole anche poter avere anche un caso come questo: prendo in \(\mathcal A\) due morfismi \(f \colon A \mapsto B\) e \(g \colon C \mapsto D\) con i quattro oggetti diversi e un funtore \(F \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B\) per cui \(F(A)=F(C)=X\) e \(F(B)=F(D)=Y\) e
in \(\mathcal B\).
Invece per avere un comportamento come la (1) bisognerebbe specificare che i morfismi \(f_1\) e \(f_2\) devono avere gli stessi dominio e codominio.
Ha senso?

[caulacau]

La definizione 1.2.16 è quella di funtore fedele, e la richiesta è che ogni funzione sui morfismi di $F$ sia iniettiva.

Per risolvere l'esercizio (che ti invita proprio a notare che l'altra richiesta possibile non è "quella giusta") è sufficiente trovare un funtore che, pur essendo fedele, abbia la proprietà che esista $f : A \to B$, non identico, tale che $FA = FB = X$ e $F(f)=1_X$. Se trovi due opportuni morfismi non identici $A\to C$ e $B\to D$ che però sono mandati nell'identità da un tale \(F : {\mathcal C} \to {\mathcal D}\), questo realizza esattamente la richiesta dell'esercizio.

[Indrjo Dedej]

Il mio obiettivo era piuttosto di esprimere un dubbio su delle cose. Per trovare un esempio ci devo ancora pensare. Ma comunque il principio di fondo è quello ed è qualcosa.

[caulacau]

Ci sono dei motivi per cui la definizione di fedele "deve essere quella", ma esulano un po' dai prerequisiti che hai ora.

Per il momento, ti basta interiorizzare che esistono dei funtori che, pur fedeli, non hanno la proprietà che dici tu. Quindi le due definizioni sono distinte. Per apprezzare il fatto che "basti" la definizione standard di fedele, che è più debole (mentre è piuttosto evidente che avere la proprietà globale $P$ che dici tu implica quella locale), si possono offrire motivazioni a posteriori: un funtore $F : C \to D$ è un'equivalenza di categorie se e solo se è pieno, fedele, ed essenzialmente suriettivo; non tutte le equivalenze sono piene, $P$ ed essenzialmente suriettive.

[caulacau]

Il controesempio classico di un funtore fedele che non sia amnestico (che non abbia cioè la proprietà che ho indicato sopra) è fuori portata a questo livello, lo riporto per chiudere la questione ma certamente ce ne sono altri.

Ogni spazio metrico è uno spazio topologico; questo significa che dalla categoria degli spazi metrici con mappe corte alla categoria degli spazi topologici c'è un funtore \(U : {\bf Met} \to {\bf Top}\). (C'è qualche dettaglio da riempire, se vogliamo essere puntigliosi: la condizione che $f$ sia una mappa corta implica che sia continua rispetto alle topologie indotte dalle metriche).

1. Questo funtore è fedele: supponi che due mappe \(f,g : X \to Y\) siano uguali quando guardate come mere mappe continue; del resto $U$ agisce come l'identità sui morfismi, e quindi $f,g$ sono la stessa mappa anche quando guardate in \(\bf Met\).

2. Tuttavia questo funtore non è amnestico: prendi due metriche equivalenti \(d, d'\) su uno stesso insieme $X$; il fatto che le metriche sono equivalenti implica che esiste una mappa corta \((X,d) \to (X,d')\) che induce la mappa identica \(1_X \in {\bf Top}(UX,UX)\); del rest quella mappa corta non è per nulla obbligata a essere l'identità (formalmente, non può esserlo perché \(d \neq d'\)).