Applicazione iniettiva e sottoinsiemi dell'immagine

[universo]

Sto facendo un po' di esercizi nei quali sono scarso, ad esempio questo:

Siano $X$ e $Y$ (non vuoti) e $f: X \rightarrow Y$ un'applicazione. Si dimostri che $f$ è iniettiva se e solo se per ogni $T \subseteq X$ si ha che $f(X \setminus T) \subseteq Y \setminus f(T)$.

che è tratto dalle dispense consigliatemi nella discussione apposita. Ho provato a svolgere la dimostrazione ma sono giunto ad un punto morto. Ecco il mio tentativo: per contrapposizione si hanno le seguenti proposizioni da dimostrare:

• $\exists T \subseteq X: \not (f(X \setminus T) \subseteq Y \setminus f(T)) \Rightarrow f$ non iniettiva;
• $f$ non iniettiva $ \Rightarrow \exists T \subseteq X: \not (f(X \setminus T) \subseteq Y \setminus f(T)) $

.

Ho iniziato con la prima proposizione: se $f(X \setminus T)$ non è un sottoinsieme di $Y \setminus f(T)$ allora esiste un elemento di $f(X \setminus T)$ che non appartiene a $f(T)$. Consideriamo ora la restrizione $f_{|T}$: se $f_{|T}$ è biunivoca allora $f$ non può essere iniettiva, inoltre se $f_{|T}$ è suriettiva allora o $f_{|T}$ è biunivoca oppure $f_{|T}$ non è iniettiva da cui segue che $f$ non è iniettiva. Se $f_{|T}$ è iniettiva ( e non suriettiva) allora deve essere che $|T| \leq |f(T)|$: per $|T| = |f(T)|$ valgono le considerazioni già fatte, altrimenti...come continuo?

[marco2132k]

Scrivo da telefono, quindi velocemente. Se è vero che l’immagine del complementare di ogni sottoinsieme \( T \) del dominio è contenuta in \(Y\setminus f_*T\), prova a considerare singoletti \(\{x\}\) e \(\{y\}\) per due elementi diversi di $X$.

Devi per forza fare per contronominale?

[universo]

Se $f$ è tale che $f$ è costante, ossia $f(x)=f(y)=\alpha \in f(T)$ allora la funzione non è iniettiva; lo stesso vale per $\beta \in Y - f(T)$. Affinché $f$ sia iniettiva il suo grafico deve essere ${(x,\beta), (y, \alpha)}$ oppure
${(x,\beta), (y,\alpha)}$ dunque deve valere che $f(X - T) \subseteq Y - f(T)$. Come si generalizza questa dimostrazione?

Chiedo scusa per il ritardo nel rispondere.

[marco2132k]

Se $ f $ è tale che $ f $ è costante, ossia $ f(x)=f(y)=\alpha \in f(T) $ allora la funzione non è iniettiva; lo stesso vale per $ \beta \in Y - f(T) $. Affinché $ f $ sia iniettiva il suo grafico deve essere $ {(x,\beta), (y, \alpha)} $ oppure
$ {(x,\beta), (y,\alpha)} $ dunque deve valere che $ f(X - T) \subseteq Y - f(T) $.

Non ho capito.

[edit](Mi sono dimenticato di scriverlo ieri). Anzi, non è vero che una funzione costante non è iniettiva; ogni funzione \( \{0\}\to S \) per ogni insieme \( S \) lo è, ad esempio.[/edit]

Se per ogni sottoinsieme \( T \) del dominio \( X \) della funzione è vero che \( fX\setminus T \) è contenuto in \( Y\setminus fT \), allora puoi dimostrare che \( f \) è iniettiva considerando due insiemi \( T_1=\{x_1\} \) e \( T_2=\{x_2\} \), con \( x_1 \) e \( x_2 \) elementi distinti del dominio, e concludere che \( fx\neq fy \) giacché \( fX\setminus T_1\subset Y\setminus fT_1 \) (perché \( x_2 \) appartiene a \( X\setminus T_1 \), appunto). Di rovescio, se \( f \) è iniettiva e consideri \( T\subset X \), allora puoi far vedere che \( fX\setminus T\subset Y\setminus fT \) vale tenendo presente che se ci fosse un elemento \( y \) in \( fX\setminus T \) che non è in \( Y\setminus fT \), esso sarebbe nell'immagine di \( T \), dunque la fibra di \( y \) consterebbe di almeno due elementi distinti.

Cerca di farti un disegno, a me a volte aiuta.

Chiedo scusa per il ritardo nel rispondere.

Figurati.

[universo]

Provo a spiegare meglio quello che intendevo dire. Siano $x \in X\setminus T$, $y \in T$ e $\alpha, \beta \in Y$. Se $f$ è iniettiva allora $f(X \setminus T) \ne f(T)$ dunque è vero che $f(x) \subseteq Y\setminus f(T)$ infatti:
- se $ f(X \setminus T ) = f(x) = \alpha$ allora $f(T) = f(y) = \beta$ da cui $f(X \setminus T) \subseteq Y\setminus f(T)$;
- se $ f(X \setminus T ) = f(x) = \beta$ allora $f(T) = f(y) = \alpha$ da cui $f(X \setminus T) \subseteq Y\setminus f(T)$.
D'altra parte se $f(X \setminus T) \subseteq Y\setminus f(T)$ allora $f(X \setminus T) \ne f(T)$ (altrimenti $f(X \setminus T) \notin Y\setminus f(T)$) da cui si conclude che $f$ è iniettiva. Spero di essere stato più chiaro.

L'unico caso che mi viene in mente in cui $f: X \to Y$ è costante ed iniettiva è quello in cui $|X| = 1$ e $|Y| \geq 1$ .

[mario9555]

Non ho capito perchè tu voglia dimostrare l'asserto necessariamente per assurdo. Comunque hai commesso un errore. Dire che $not(f(X\\T)sube Y\\f(T))$ equivale a dire che esiste un elemento $y in f(X\\T)$(e quindi a $Y supe f(X\\T)$ che appartiene a $f(T)$ (questo è l'unico modo perchè y appartenendo a y non appartenga alla differenza $Y\\f(T)$. A questo punto esiste un elemento $x in X\\T$ tale che $f(x)=y$ ed esiste un elemento $z inT$ tale che $f(z)=y$. Allora $f(x)=f(z)$ pur essendo $x!=z$(infatti x non appartiene a T ma z si), quindi f non è iniettiva (infatti abbiamo trovato un controesempio che nega la seguente affermazione ($ AA x,yinX $ $f(x)=f(y)=>x=y$)$<=>$(f è iniettiva)).