Liceità dimostrazione proprietà delle potenze in semigruppi

Messaggioda marco2132k » 03/07/2019, 16:48

Ciao. Mi sto chiedendo quanto il seguente modo per provare le proprietà dei prodotti in gruppi e simili sia valido. Cercherò di spiegarmi con un esempio.

Supponiamo che, dato un semigruppo \( S \), io definisca un prodotto \( p \) di \( n\leqq 2 \) elementi \( x_1,\dots,x_n\in S \) come il risultato \( p=xy \) della legge di composizione del semigruppo su altri due prodotti \( x \) e \( y \) di, rispettivamente, \( 1\leqq k<n \) e \( n-1 \) elementi tra gli \( n \) iniziali (tenendo sempre conto dell'ordine). I casi iniziali \( n=0 \) e \( n=1 \) sono definiti come è d'uso.

Definisco poi la potenza \( n \)-esima \( a^n \) di un \( a\in S \) come il prodotto \( \prod_{i=1}^n a_i \), dove \( a_i=a \) per ogni \( i\in\mathbb{N} \).

Allora, volendo provare che \( a^ma^n=a^{m+n} \), per un elemento qualsiasi \( a\in S \) e due naturali \( m \) ed \( n \), procederei notando che \( a^{m+n} \) è il prodotto (come definito sopra) di \( m+n \) volte \( a \): allora, esso è uguale al prodotto di \( x=a\cdots a \) (per \( k \) volte) per \( y=a\cdots a \) (per \( (m+n)-k \) volte), per un qualche \( k \). Ma tutti i prodotti sono uguali per l'associatività, quindi la tesi si ottiene per \( k=m \).

Altrimenti dovrei procedere per induzione, ma mi sembra meno bella la dimostrazione; un po' più macchinosa sicuro. Cioè dovrei dimostrare che per ogni \( m\in\mathbb{N} \), per ogni \( n\in\mathbb{N} \) è \( a^ma^n=a^{m+n} \) assumendo che, preso \( m\in\mathbb{N} \) la cosa sia vera per un \( n \), e provare che vale anche per \( n+1 \).
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Re: Liceità dimostrazione proprietà delle potenze in semigruppi

Messaggioda caulacau » 03/07/2019, 18:13

Per ogni \(a \in S\) esiste un unico omomorfismo di semigruppi \(\varphi : \mathbb{N} \to S\) definito ponendo \(\varphi(1)=a\) e deducendo dalla condizione di omomorfismo che \[
\varphi(n)=\varphi(1+\dots+1)=\varphi(1)\dots\varphi(1)=a^n
\] da ciò segue cosa stai cercando di dimostrare.

Meno formalmente da un certo punto di vista, ma più formalmente da un altro, le cose vanno circa a questa maniera: tra gli assiomi di semigruppo c'è la richiesta che l'operazione sia associativa, quindi il fatto che \(a(bc)=(ab)c\); da ciò segue, e l'unica dimostrazione sensata di tale fatto è per induzione, che per ogni tupla \(\vec a = \{a_i \mid i =1,\dots, n\}\) si ha l'uguaglianza \[
\vec a_{\mathfrak P} = \vec a_\mathfrak Q
\] dove ho indicato con \(\vec a_{\mathfrak P}\) il prodotto di tutti gli elementi \(a_1,\dots, a_n\) seguendo la parentesizzazione \(\mathfrak P\), e similmente \(\vec a_\mathfrak Q\). La tua tesi segue.

Esercizio, just in case you wanna walk the extra mile: definisci formalmente la nozione di "parentesizzazione" in un magma $M$.
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Re: Liceità dimostrazione proprietà delle potenze in semigruppi

Messaggioda marco2132k » 03/07/2019, 23:14

Grazie per la risposta celere.

caulacau ha scritto:Per ogni \( a \in S \) esiste un unico omomorfismo di semigruppi \( \varphi : \mathbb{N} \to S \) definito ponendo [...]
Ok.

caulacau ha scritto:Meno formalmente da un certo punto di vista, ma più formalmente da un altro, le cose vanno circa a questa maniera: tra gli assiomi di semigruppo c'è la richiesta che l'operazione sia associativa, quindi il fatto che \( a(bc)=(ab)c \); da ciò segue, e l'unica dimostrazione sensata di tale fatto è per induzione, che per ogni tupla \( \vec a = \{a_i \mid i =1,\dots, n\} \) si ha l'uguaglianza \[ \vec a_{\mathfrak P} = \vec a_\mathfrak Q \] dove ho indicato con \( \vec a_{\mathfrak P} \) il prodotto di tutti gli elementi \( a_1,\dots, a_n \) seguendo la parentesizzazione \( \mathfrak P \), e similmente \( \vec a_\mathfrak Q \). La tua tesi segue.
Ma, una volta concluso (per induzione, è ovvio), che tutti i prodotti sotto un'operazione associativa sono identici, provare che \( a^ma^n=a^{m+n} \) diventa banale: anzi, è dire esattamente le parentesizzazioni di ogni tupla di soli \( a \) sono tutte uguali.
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