Ciao. Mi sto chiedendo quanto il seguente modo per provare le proprietà dei prodotti in gruppi e simili sia valido. Cercherò di spiegarmi con un esempio.
Supponiamo che, dato un semigruppo \( S \), io definisca un prodotto \( p \) di \( n\leqq 2 \) elementi \( x_1,\dots,x_n\in S \) come il risultato \( p=xy \) della legge di composizione del semigruppo su altri due prodotti \( x \) e \( y \) di, rispettivamente, \( 1\leqq k<n \) e \( n-1 \) elementi tra gli \( n \) iniziali (tenendo sempre conto dell'ordine). I casi iniziali \( n=0 \) e \( n=1 \) sono definiti come è d'uso.
Definisco poi la potenza \( n \)-esima \( a^n \) di un \( a\in S \) come il prodotto \( \prod_{i=1}^n a_i \), dove \( a_i=a \) per ogni \( i\in\mathbb{N} \).
Allora, volendo provare che \( a^ma^n=a^{m+n} \), per un elemento qualsiasi \( a\in S \) e due naturali \( m \) ed \( n \), procederei notando che \( a^{m+n} \) è il prodotto (come definito sopra) di \( m+n \) volte \( a \): allora, esso è uguale al prodotto di \( x=a\cdots a \) (per \( k \) volte) per \( y=a\cdots a \) (per \( (m+n)-k \) volte), per un qualche \( k \). Ma tutti i prodotti sono uguali per l'associatività, quindi la tesi si ottiene per \( k=m \).
Altrimenti dovrei procedere per induzione, ma mi sembra meno bella la dimostrazione; un po' più macchinosa sicuro. Cioè dovrei dimostrare che per ogni \( m\in\mathbb{N} \), per ogni \( n\in\mathbb{N} \) è \( a^ma^n=a^{m+n} \) assumendo che, preso \( m\in\mathbb{N} \) la cosa sia vera per un \( n \), e provare che vale anche per \( n+1 \).