Se $n=2$ le parentesizzazioni di $ab$ sono una sola, $ab:=m(a,b)$. Esse si dispongono in un punto,
Se $n=3$, le parentesizzazioni di $abc$ sono due, $a(bc)$ e $(ab)c$. Esse si dispongono in un segmento
Se $n=4$, le parentesizzazioni di $abcd$ sono 5, e si dispongono in un pentagono:
Se $n=5$ le parentesizzazioni di $abcde$ si organizzano in questa figura tridimensionale:
In generale, le parentesizzazioni di una $n$-upla di elementi di $M$ sono gli spigoli di un polìtopo $n-2$-dimensionale, che si chiama
associaedro di Stasheff. Si può dimostrare che i vertici di un tale politopo $K_n$ sono in numero di $C_n$, l'$n$-esimo numero di Catalan. In altre parole, ad ogni intero $1\le k\le C_n$ corrisponde una ben precisa parentesizzazione \(\mathfrak p_k\) della tupla \((a_1,\dots, a_n)\).
Io voglio una definizione formale della funzione che enumera i vertici di $K_n$, o per meglio dire della funzione che associa all'intero $1\le k\le C_n$ la parentesizzazione corrispondente nella biiezione \(C_n \cong ((a_1,\dots, a_n))_{\mathfrak p}\).